Наименьшее суммарное число. Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК
Рассмотрим решение следующей задачи. Шаг мальчика составляет 75 см, а шаг девочки 60 см. Необходимо найти наименьшее расстояние, на котором они оба сделают по целому числу шагов.
Решение. Весь путь который пройдут ребята, должен делиться без остатка на 60 и на 70, так как они должны сделать каждый целое число шагов. Другими словами, в ответе должно быть число, кратное как 75 так и 60.
Сначала будем выписывать все кратные числа, для числа 75. Получаем:
- 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .
Теперь выпишем числа, которые будут кратны 60. Получаем:
- 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .
Теперь находим числа которые есть в обоих рядах.
- Общими кратными чисел будут числа, 300, 600, и т.д.
Самое наименьшее из них, это число 300. Оно в данном случае будет называться наименьшим общим кратным чисел 75 и 60.
Возвращаясь к условию задачи, наименьшее расстояние, на котором ребята сделают целое число шагов будет 300 см. Мальчик пройдет этот путь за 4 шага, а девочке потребуется сделать 5 шагов.
Определение наименьшего общего кратного
- Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел a и b называется наименьшее натуральное число, которое кратно как a, так и b.
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, не обязательно выписывть подряд все кратные для этих чисел.
Можно воспользоваться следующим методом.
Как найти наименьшее общее кратное
Сначала необходимо разложить данные числа на простые множители.
- 60 = 2*2*3*5,
- 75=3*5*5.
Теперь выпишем все множители которые есть в разложении первого числа (2,2,3,5) и добавим к нему все недостающие множители из разложения второго числа (5).
Получим в итоге ряд простых чисел: 2,2,3,5,5. Произведение этих чисел и будет наименьшим общим сомножителем для данных чисел. 2*2*3*5*5 = 300.
Общая схема нахождения наименьшего общего кратного
- 1. Разложить числа на простые множители.
- 2. Выписать простые множители которые входят в состав одного из них.
- 3. Добавить к этим множителям все те, которые есть в разложении остальных, но нет в выбранном.
- 4. Найти произведение всех выписанных сомножителей.
Данный способ универсален. С его помощью можно найти наименьшее общее кратное любого количества натуральных чисел.
Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел. Обозначают НОД(a, b).
Рассмотрим нахождения НОД на примере двух натуральных чисел 18 и 60:
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2 × 3 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 и 432
Разложим числа на простые множители:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3 × 37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Вычеркнуть из первого числа, множители которых нету во втором и третьем числе, получим:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
В результате НОД(324 , 111 , 432 )=3
Нахождение НОД с помощью алгоритма Евклида
Второй способ нахождения наибольшего общего делителя с помощью алгоритма Евклида . Алгоритм Евклида является наиболее эффективным способом нахождения НОД , используя его нужно постоянно находить остаток от деления чисел и применять рекуррентную формулу .
Рекуррентная формула для НОД, НОД(a, b)=НОД(b, a mod b) , где a mod b — остаток от деления a на b.
Алгоритм Евклида
Пример Найти наибольший общий делитель чисел 7920 и 594
Найдем НОД(7920 , 594 ) с помощью алгоритма Евклида, вычислять остаток от деления будем с помощью калькулятора.
- 7920 mod 594 = 7920 — 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 — 3 × 198 = 0
В результате получаем НОД(7920 , 594 ) = 198
Наименьшее общее кратное
Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).
Кратное числу « a » - это число, которое само делится на число « a » без остатка.
Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …
Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …
Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей - конечное количество.
Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело .
Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.
Как найти НОК
НОК можно найти и записать двумя способами.
Первый способ нахождения НОК
Данный способ обычно применяется для небольших чисел.
- Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.
- Кратное числа « a » обозначаем большой буквой «К».
Пример. Найти НОК 6 и 8 .
Второй способ нахождения НОК
Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.
Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.
НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
Ответ: НОК (24, 60) = 120
Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24) .
24 = 2 · 2 · 2 · 3
Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в разложение 24 (самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из разложения числа 16 .
НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48
Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48
Особые случаи нахождения НОК
Например, НОК (60, 15) = 60
Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.
На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.
Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.
Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.
Число 2 - наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа - нечётные.
Простых чисел много, и первое среди них - число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .
Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.
- число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
- число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .
- разложить делители чисел на простые множители;
Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа.
Делитель натурального числа a - это такое натуральное число, которое делит данное число « a » без остатка.
Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.
Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел - 12 .
Общий делитель двух данных чисел « a » и « b » - это число, на которое делятся без остатка оба данных числа « a » и « b ».
Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел « a » и « b » - это наибольшее число, на которое оба числа « a » и « b » делятся без остатка.
Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так :
Пример: НОД (12; 36) = 12 .
Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».
Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель - число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами .
Взаимно простые числа - это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель - число 1 . Их НОД равен 1 .
Как найти наибольший общий делитель
Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:
Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа - делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.
Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .
-
Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах.
28 = 2 · 2 · 7
64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4
Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».
Первый способ записи НОД
Найти НОД 48 и 36 .
НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12
Второй способ записи НОД
Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15 .
На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления.
Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.
Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК — наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД. Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК) , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.
Навигация по странице.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.
Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .
В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.
Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .
Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .
Чему равно НОК(68, 34) ?
Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .
Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b: если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители. Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел .
Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).
Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .
Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.
Разложим числа 441 и 700 на простые множители: 
Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .
Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
НОК(441, 700)= 44 100 .
Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b .
Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .
Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .
Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.
Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) .
Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.
Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .
Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 .
Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 .
Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 .
Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .
НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .
Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее .
Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.
Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .
Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .
Следовательно, НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .
НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Иногда встречаются задания, в которых требуется найти наименьшее общее кратное чисел, среди которых одно, несколько или все числа являются отрицательными. В этих случаях все отрицательные числа нужно заменить противоположными им числами, после чего находить НОК положительных чисел. В этом и состоит способ нахождения НОК отрицательных чисел. Например, НОК(54, −34)=НОК(54, 34) , а НОК(−622, −46, −54, −888)= НОК(622, 46, 54, 888) .
Мы можем так поступать, потому что множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a (a и −a – противоположные числа). Действительно, пусть b – какое-то кратное числа a , тогда b делится на a , и понятие делимости утверждает существование такого целого числа q , что b=a·q . Но будет справедливо и равенство b=(−a)·(−q) , которое в силу того же понятия делимости означает, что b делится на −a , то есть, b есть кратное числа −a . Справедливо и обратное утверждение: если b – какое-то кратное числа −a , то b является кратным и числа a .
Найдите наименьшее общее кратное отрицательных чисел −145 и −45 .
Заменим отрицательные числа −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45 . Имеем НОК(−145, −45)=НОК(145, 45) . Определив НОД(145, 45)=5 (например, по алгоритму Евклида), вычисляем НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Таким образом, наименьшее общее кратное отрицательных целых чисел −145 и −45 равно 1 305 .
www.cleverstudents.ru
Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД и НОК .
НОД - это наибольший общий делитель.
НОК - это наименьшее общее кратное.
Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.
Наибольший общий делитель
Определение. Наибольшим общим делителем чисел a и b a и b делятся без остатка.
Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a и b любые два числа, например, вместо переменной a подставим число 12, а вместо переменной b число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:
Наибольшим общим делителем чисел 12 и 9 называется наибольшее число, на которое 12 и 9 делятся без остатка.
Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9, причем этот делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.
Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.
Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Мы с вами рассмотрим все три способа. А какой применять на практике - выбирать вам.
Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9 .
Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.
12: 1 = 12
(12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)
12: 2 = 6
(12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)
12: 3 = 4
(12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)
12: 4 = 3
(12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)
12: 5 = 2 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)
12: 6 = 2
(12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)
12: 7 = 1 (5 в остатке)
(12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)
12: 8 = 1 (4 в остатке)
(12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)
12: 9 = 1 (3 в остатке)
(12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)
12: 10 = 1 (2 в остатке)
(12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)
12: 11 = 1 (1 в остатке)
(12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)
12: 12 = 1
(12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)
Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9
9: 1 = 9
(9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)
9: 2 = 4 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)
9: 3 = 3
(9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)
9: 4 = 2 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)
9: 5 = 1 (4 в остатке)
(9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)
9: 6 = 1 (3 в остатке)
(9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)
9: 7 = 1 (2 в остатке)
(9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)
9: 8 = 1 (1 в остатке)
(9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)
9: 9 = 1
(9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)
Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:
Выписав делители, можно сразу определить, какой является наибольшим и общим.
Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3
И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:
Значит НОД (12 и 9) = 3
Второй способ нахождения НОД
Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.
Пример 1 . Найти НОД чисел 24 и 18
Сначала разложим оба числа на простые множители:
Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.
Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:
Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.
Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.
Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:
Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:
Значит НОД (24 и 18) = 6
Третий способ нахождения НОД
Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.
Например, найдём НОД для чисел 28 и 16 этим способом. В первую очередь, раскладываем эти числа на простые множители:
Получили два разложения: и
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семерка. Её и вычеркнем из первого разложения:
Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:
Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:
Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40
Раскладываем на множители число 100
Раскладываем на множители число 40
Получили два разложения:
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения
Перемножим оставшиеся числа:
Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:
НОД (100 и 40) = 20.
Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128
Раскладываем на множители число 72
Раскладываем на множители число 128
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:
Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:
НОД (72 и 128) = 8
Нахождение НОД для нескольких чисел
Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.
Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36
Разложим на множители число 18
Разложим на множители число 24
Разложим на множители число 36
Получили три разложения:
Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все три числа:
Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:
Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:
НОД (18, 24 и 36) = 6
Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42
Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих множителей этих чисел.
Разложим на множители число 12
Разложим на множители число 42
Получили четыре разложения:
Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все четыре числа:
Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:
Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:
НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6
Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.
Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, при этом оно должно быть максимально маленьким.
Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b - a и b a и число b .
Определение содержит две переменные a и b . Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 - это наименьшее число, которое кратно 9 и 12 . Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12 .
Из определения понятно, что НОК это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Этот НОК требуется найти.
Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться двумя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.
В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9. Итак, начнём. Кратные будем выделять красным цветом:
Теперь находим кратные для числа 12. Для этого, поочерёдно умножаем 12 на все числа 1 до 12.
Тема «Кратные числа» изучается в 5 классе общеобразовательной школы. Ее целью является совершенствование письменных и устных навыков математических вычислений. На этом уроке вводятся новые понятия - «кратные числа» и «делители», отрабатывается техника нахождения делителей и кратных натурального числа, умение находить НОК различными способами.
Эта тема является очень важной. Знания по ней можно применить при решении примеров с дробями. Для этого нужно найти общий знаменатель путем расчета наименьшего общего кратного (НОК).
Кратным А считается целое число, которое делится на А без остатка.
Каждое натуральное число имеет бесконечное количество кратных ему чисел. Наименьшим считается оно само. Кратное не может быть меньше самого числа.
Нужно доказать, что число 125 кратно числу 5. Для этого нужно первое число разделить на второе. Если 125 делится на 5 без остатка, то ответ положительный.
Данный способ применим для небольших чисел.
При расчёте НОК встречаются особые случаи.
1. Если необходимо найти общее кратное для 2-х чисел (например, 80 и 20), где одно из них (80) делится без остатка на другое (20), то это число (80) и есть наименьшее кратное этих двух чисел.
НОК (80, 20) = 80.
2. Если два не имеют общего делителя, то можно сказать, что их НОК - это произведение этих двух чисел.
НОК (6, 7) = 42.
Рассмотрим последний пример. 6 и 7 по отношению к 42 являются делителями. Они делят кратное число без остатка.
В этом примере 6 и 7 являются парными делителями. Их произведение равно самому кратному числу (42).
Число называется простым, если делится только само на себя или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Остальные называются составными.
В другом примере нужно определить, является ли 9 делителем по отношению к 42.
42:9=4 (остаток 6)
Ответ: 9 не является делителем числа 42, потому что в ответе есть остаток.
Делитель отличается от кратного тем, что делитель - это то число, на которое делят натуральные числа, а кратное само делится на это число.
Наибольший общий делитель чисел a и b , умноженный на их наименьшее кратное, даст произведение самих чисел a и b .
А именно: НОД (а, b) х НОК (а, b) = а х b.
Общие кратные числа для более сложных чисел находят следующим способом.
Например, найти НОК для 168, 180, 3024.
Эти числа раскладываем на простые множители, записываем в виде произведения степеней:
168=2³х3¹х7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
НОК (168, 180, 3024) = 15120.
Как найти НОК (наименьшее общее кратное)
Общее кратное для двух целых чисел - это такое целое число, которое делится нацело без остатка на оба заданных числа.Наименьшее общее кратное для двух целых чисел - это наименьшее из всех целых чисел, которое делится нацело и без остатка на оба заданных числа.
Способ 1 . Найти НОК можно, по очереди, для каждого из заданных чисел, выписывая в порядке возрастания все числа, которые получаются путем их умножения на 1, 2, 3, 4 и так далее.
Пример
для чисел 6 и 9.
Умножаем число 6, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 6, 12, 18
, 24, 30
Умножаем число 9, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 9, 18
, 27, 36, 45
Как видно, НОК для чисел 6 и 9 будет равно 18.
Данный способ удобен, когда оба числа небольшие и их несложно умножать на последовательность целых чисел. Однако, бывают случаи, когда нужно найти НОК для двузначных или трехзначных чисел, а также, когда исходных чисел три или даже больше.
Способ 2
. Найти НОК можно, разложив исходные числа на простые множители.
После разложения необходимо вычеркнуть из получившихся рядов простых множителей одинаковые числа. Оставшиеся числа первого числа будут множителем для второго, а оставшиеся числа второго - множителем для первого.
Пример
для числе 75 и 60.
Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители:
75 = 3
* 5
* 5, а
60 = 2 * 2 * 3
* 5
.
Как видно, множители 3 и 5 встречаются в обоих строках. Мысленно их "зачеркиваем".
Выпишем оставшиеся множители, входящие в разложение каждого из этих чисел. При разложении числа 75 у нас осталось число 5, а при разложении числа 60 - остались 2 * 2
Значит, чтобы определить НОК для чисел 75 и 60, нам нужно оставшиеся числа от разложения 75 (это 5) умножить на 60, а числа, оставшиеся от разложения числа 60 (это 2 * 2) умножить на 75. То есть, для простоты понимания, мы говорим, что умножаем "накрест".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Таким образом мы и нашли НОК для чисел 60 и 75. Это - число 300.
Пример
. Определить НОК для чисел 12, 16, 24
В данном случае, наши действия будут несколько сложнее. Но, сначала, как всегда, разложим все числа на простые множители
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Чтобы правильно определить НОК, выбираем наименьшее из всех чисел (это число 12) и последовательно проходим по его множителям, вычеркивая их, если хотя бы в одном из других рядов чисел встретился такой же, еще не зачеркнутый множитель.
Шаг 1 . Мы видим, что 2 * 2 встречаются во всех рядах чисел. Зачеркиваем их.
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Шаг 2. В простых множителях числа 12 осталось только число 3. Но оно присутствует в простых множителях числа 24. Вычеркиваем число 3 из обоих рядов, при этом для числа 16 никаких действий не предполагается.
12 = 2
* 2
* 3
16 = 2
* 2
* 2 * 2
24 = 2
* 2
* 2 * 3
Как видим, при разложении числа 12 мы "вычеркнули" все числа. Значит нахождение НОК завершено. Осталось только вычислить его значение.
Для числа 12 берем оставшиеся множители у числа 16 (ближайшего по возрастанию)
12 * 2 * 2 = 48
Это и есть НОК
Как видим, в данном случае, нахождение НОК было несколько сложнее, но когда нужно его найти для трех и более чисел, данный способ позволяет сделать это быстрее. Впрочем, оба способа нахождения НОК являются правильными.
Признаки делимости натуральных чисел.
Числа, делящиеся без остатка на 2, называются четными .
Числа, которые не делятся без остатка на 2, называются нечетными .
Признак делимости на 2
Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится без остатка на 2.
Например, числа 6 0 , 30 8 , 8 4 делятся без остатка на 2, а числа 5 1 , 8 5 , 16 7 не делятся без остатка на 2.
Признак делимости на 3
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
Например, выясним, делится ли на 3 число 2772825. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - делится на 3. Значит, число 2772825 делится на 3.
Признак делимости на 5
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Например, числа 1 5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 делятся без остатка на 5, а числа 1 7 , 37 8 , 9 1 не делятся.
Признак делимости на 9
Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Например, выясним, делится ли на 9 число 5402070. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - не делится на 9. Значит, число 5402070 не делится на 9.
Признак делимости на 10
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.
Например, числа 4 0 , 17 0 , 1409 0 делятся без остатка на 10, а числа 1 7 , 9 3 , 1430 7 - не делятся.
Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД).
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произведение оставшихся множителей.
Пример. Найдем НОД (48;36). Воспользуемся правилом.
1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Из множителей, входящих в разложение числа 48 вычеркнем те, которые не входят в разложение числа 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Остаются множители 2, 2 и 3.
3. Перемножим оставшиеся множители и получим 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
НОД (48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.
Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК).
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Пример. Найдем НОК (75;60). Воспользуемся правилом.
1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Выпишем множители, входящие в разложение числа 75: 3, 5, 5.
НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа 60, т.е. 2, 2.
НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Найдем произведение получившихся множителей
НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
