Нечеткие множества и их особенности

Современную науку и технику невозможно представить без широкого применения математического моделирования, поскольку далеко не всегда могут быть поставлены натурные эксперименты, зачастую они слишком дороги и требуют значительного времени, во многих случаях они связаны с риском и большими материальными или моральными издержками. Сущность математического моделирования состоит в замене реального объекта его «образом» – математической моделью – и дальнейшим изучением модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Важнейшим требованием, предъявляемым к математической модели, является условие ее адекватность (правильного соответствия) изучаемому реальному объекту относительно выбранной системы его свойств. Под этим, прежде всего, понимается правильное количественное описание рассматриваемых свойств объекта. Построение таких количественных моделей возможно для простых систем.

Иначе дело обстоит со сложными системами. Для получения существенных выводов о поведении сложных систем необходимо отказаться от высокой точности и строгости при построении модели и привлекать при ее построении подходы, которые являются приближенными по своей природе. Один из таких подходов связан с введением лингвистических переменных, описывающих нечеткое отражение человеком окружающего мира. Для того чтобы лингвистическая переменная стала полноправным математическим объектом, было введено понятие нечеткого множества.

В теории четких множеств была рассмотрена характеристическая функция четкого множества в универсальном пространстве , равная 1, если элемент удовлетворяет свойству и, следовательно, принадлежит множеству , и равная 0 в противном случае. Таким образом, речь шла о четком мире (булевой алгебре), в котором наличие или отсутствие заданного свойства определяется значениями 0 или 1 («нет» или «да»).

Однако в мире нельзя все разделить только на белое и черное, истину и лож. Так, еще Будда видел мир, заполненный противоречиями, вещи могли быть истинны в некоторой степени и, в некоторой степени, ложны в то же самое время. Платон положил основу того, что станет нечеткой логикой, указывая, что имелась третья область (вне Истины и Лжи) где эти противоречия относительны.

Профессор Калифорнийского университета Заде опубликовал в 1965 статью «Нечеткие множества», в которой он расширил двузначную оценку 0 или 1 до неограниченной многозначной оценки выше 0 и ниже 1 в замкнутом интервале и впервые ввел понятие «нечеткого множества». Вместо термина «характеристическая функция» Заде использовал термин «функция принадлежности». Нечеткое множество (оставлено то же обозначение, что и для четкого множества) в универсальном пространстве через функцию принадлежности (то же обозначение, что и для характеристической функции) определяется следующим образом

Функция принадлежности чаще всего интерпретируется следующим образом: величина означает субъективную оценку степени принадлежности элемента нечеткому множеству , например, означает, что на 80% принадлежит . Следовательно, должны существовать «моя функция принадлежности», «твоя функция принадлежности», «функция принадлежности специалиста» и т. п. Графическое представление нечеткого множества диаграмма Венна представляет собой концентрические окружности рис. 1. Функция принадлежности нечеткого множества имеет колоколообразный график в отличие от прямоугольного характеристической функции четкого множества рис. 1.

Следует обратить внимание на связь четкого и нечеткого множеств. Два значения {0,1} характеристической функции принадлежат замкнутому интервалу значений функции принадлежности. Следовательно, четкое множество является частным случаем нечеткого множества, а понятие нечеткого множества является расширенным понятием, охватывающим и понятие четкого множества. Другими словами четкое множество является и нечетким множеством.

Нечеткое множество строго определяется с помощью функции принадлежности и не содержит какой-либо нечеткости. Дело в том, что нечеткое множество строго определяется с помощью оценочных значений замкнутого интервала , а это и есть функция принадлежности. В случае если универсальное множество состоит из дискретного конечного набора элементов, то исходя из практических соображений, указывают значение функции принадлежности и соответствующий элемент, используя знаки разделения / и +. Например, пусть универсальное множество состоит из целых чисел меньших 10, тогда нечеткое множество «малые числа» можно представить в виде

A=1/0 + 1/1 + 0,8/2 + 0,5/3 + 0,1/4

Здесь, например, 0,8/2 означает . Знак + обозначает объединение. При написании нечеткого множества в приведенном выше виде опускаются элементы универсального множества со значениями функции принадлежности, равными нулю. Обычно записывают все элементы универсального множества с соответствующими значениями функции принадлежности. Используется запись нечеткого множества, как в теории вероятностей,

Определение. В общем случае нечеткое подмножество универсального множества определяется как множество упорядоченных пар

Лекция 4. Моделирование и принятие решений в ГИС.

1. Нечеткие множества

2. Методы оптимизации

Нечеткие множества

Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важных задач развития ГИС, особенно по применению их в различных сферах управления.

Значительное продвижение в этом направлении сделано 30 лет тому назад про- ром Калифорнийского университета (Беркли) Лотфи А. Заде. Его работа «Fuzzy Sets», появившаяся в 1965 г. в журнале Information and Control, №8, заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и явилась начальным толчком к развитию новой математической теории.

Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовское понятиемножества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0,1)), а не как в классической теории только значения 0 либо 1. Такие множества были названынечеткими(fuzzy).

Им были также определены операции над нечеткими множествами и предложены обобщения известных методов логического вывода.

Рассмотрим некоторые основные положения теории нечетких множеств.

Пусть Е - универсальное множество, х - элементЕ, аК - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножествоА универсального множестваЕ, элементы которого удовлетворяют свойству R , определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция , принимающая значение 1 , если х удов­летворяет свойству R , и 0 - в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да - нет» относительно свойства R . В связи с этим не­четкое подмножество А универсального множестваЕ определяется как множество упорядоченных пар , где - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = ). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А . Множество М назы­вают множеством принадлежностей . Если М = {0,1} , то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Пусть М = и А - нечеткое множество с элементами из универсального множества Е и множеством принадлежностей М .

Величина называется высотой нечеткого множества А . Нечеткое множество А нормально , если его высота равна 1 , т. е. верхняя граница его функ­ции принадлежности равна 1 ( =1 ). При < 1 нечеткое множест­во называется субнормальным.

Нечеткое множество пусто , если Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле

В приведенных выше примерах использованы прямые методы, когда эксперт либо просто задает для каждого значение , либо определяет функцию совместимости. Как правило, прямые методы задания функции принадлежности используются для измеримых понятий, таких как скорость, время, расстояние, дав­ление, температура и т. д., или когда выделяются полярные значения.

Косвенные методы определения значений функции принадлежности использу­ются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые опре­деляется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попар­ных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например то попарные сравнения можно представить мат­рицей отношений , где (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу А , при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов, симметричных относительно диагонали, =1/ , т. е. если один элемент оценивается в а раз выше чем другой, то этот последний должен быть в 1/ раз сильнее. В общем случае задача сводится к поиску вектора , удовлетворяющего уравнению вида , где - наибольшее собственное значение матрицы А .

Введение понятия лингвистической переменной, и допущение, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, фактически позволяет создать аппарат описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Поскольку матрица А положительно-определенная по построению, решение данной задачи существует при принятом значении () и является положительным. С(Т), где С(Т) - множество сгенерированных термов, называется расширен­ным терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значе­ние лингвистической переменной, образуемое процедурой С, в нечеткую перемен­ную, т. е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Введя понятие лингвистической переменной и допуская, что в качестве ее зна­чений (термов) выступают нечеткие множества, фактически позволяет создать аппарат описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Нечеткое множество представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя с полной определенностью утверждать – принадлежит ли тот или иной элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет. Другими словами, нечеткое множество отличается от обычного множества тем, что для всех, или части его элементов не существует однозначного ответа на вопрос: «Принадлежит или не принадлежит тот или иной элемент рассматриваемому нечеткому множеству»

Для построения нечетких моделей систем само понятие нечеткого множества следует определить строго, чтобы исключить неоднозначность толкования тех или иных его свойств. Наиболее естественным и интуитивно понятным является задание области значений подобной функции как интервал действительных чисел, заключенных между 0 и 1 (включая и сами эти значения).

Математическое определение нечеткого множества. Формально нечеткое множество определяется как множество упорядоченных пар или кортежей вида:, гдеявляется элементом некоторого универсального множества, или универсума, а– функция принадлежности, которая ставит в соответствие каждому из элементовнекоторое действительное число из интервала, т.е. данная функция определяется в форме отображения:

При этом значение для некоторогоозначает, что элементопределенно принадлежит нечеткому множеству, а значениеозначает, что элементопределенно не принадлежит нечеткому множеству.

Формально конечное нечеткое множество в общем случае имеет вид:

Универсум - это множество, содержащее в рамках некоторого контекста все возможные элементы. Формально удобно считать, что функция принадлежности универсума как нечеткого множества тождественно равна единице для всех без исключения элементов:.

Пустое нечеткое множество , или множество, которое не содержит ни одного элемента, обозначаетсяи формально определяется как такое нечеткое множество, функция принадлежности которого тождественно равна нулю для всех без исключения элементов:

Формальное определение нечеткого множества не накладывает никаких ограничений на выбор конкретной функции принадлежности для его представления. Однако на практике удобно использовать те из них, которые допускают аналитическое представление в виде некоторой простой математической функции. Это упрощает не только соответствующие численные расчеты, но и сокращает вычислительные ресурсы, необходимые для хранения отдельных значений этих функций принадлежности.

Функция принадлежности – математическая функция, определяющая степень, с которой элементы некоторого множества принадлежат заданному нечеткому множеству. Данная функция ставит в соответствие каждому элементу нечеткого множества действительное число из интервалаЗадать конкретное нечеткое множество означает определить соответствующую ему функцию принадлежности.

При построении функций принадлежности для нечетких множеств следует придерживаться некоторых правил, которые предопределяются характером неопределенности, имеющей место при построении конкретных нечетких моделей.

С практической точки зрения с каждым нечетким множеством удобно ассоциировать некоторое свойство, которое характеризует рассматриваемую совокупность объектов универсума. При этом по аналогии с классическими множествами рассматриваемое свойство может порождать некоторый предикат, который вполне естественно назвать нечетким предикатом. Данный нечеткий предикат может принимать не одно из двух значений истинности («истина» или «ложь»), а целый континуум значений истинности, которые для удобства выбираются из интервала При этом значению «истина» по-прежнему соответствует число 1, а значению «ложь» - число 0.

Содержательно это означает следующее: чем в большей степени элемент обладает рассматриваемым свойством, тем более близко к 1 должно быть значение истинности соответствующего нечеткого предиката. И наоборот, чем в меньшей степени элементобладает рассматриваемым свойством, тем более близко к 0 должно быть значение истинности этого нечеткого предиката. Если элементопределенно не обладает рассматриваемым свойством, то соответствующий нечеткий предикат принимает значение «ложь» (или число 0). Если же элементопределенно обладает рассматриваемым свойством, то соответствующий нечеткий предикат принимает значение «истина» (или число 1).

Тогда в общем случае задание нечеткого множества с использованием специального свойства эквивалентно заданию такой функции принадлежности, которая содержательно представляет степень истинности соответствующего одноместного нечеткого предиката.

Понятие нечеткого отношения наряду с понятием самого нечеткого множества следует отнести к фундаментальным основам всей теории нечетких множеств. На основе нечетких отношений определяется целый ряд дополнительных понятий, используемых для построения нечетких моделей сложных систем.

В общем случае нечетким отношением, заданном на множествах (универсумах) , называется некоторое фиксированное нечеткое подмножество декартова произведения этих универсумов. Другими словами, если обозначить произвольное нечеткое отношение через, то по определению, где- функция принадлежности данного нечеткого отношения, которая определяется как отображение. Черезобозначен кортеж изэлементов, каждый из которых выбирается из своего универсума:

Нечеткая логика, которая служит основой для реализации методов нечеткого управления, более естественно описывает характер человеческого мышления и ход его рассуждений, чем традиционные формально-логические системы. Именно поэтому изучение и использование математических средств, для представления нечеткой исходной информации позволяет строить модели, которые наиболее адекватно отражают различные аспекты неопределенности, постоянно присутствующей в окружающей нас реальности.

Нечеткая логика предназначена для формализации человеческих способностей к неточным или приближенным рассуждениям, которые позволяют более адекватно описывать ситуации с неопределенностью. Классическая логика по своей сути игнорирует проблему неопределенности, поскольку все высказывания и рассуждения в формальных логических системах могут иметь только значение «истина» (И ,1) или значение «ложь» (Л ,0). В отличие от этого в нечеткой логике истинность рассуждений оценивается в некоторой степени, которая может принимать и другие отличныезначения. Нечеткая логика использует основные понятия теории нечетких множеств для формализации неточных знаний и выполнения приближенных рассуждений в той или иной предметной области.

В предложенной Л.Заде варианте нечеткой логики множество истинностных значений высказываний обобщается до интервала действительных значений , что позволяет высказыванию принимать любое значение истинности из этого интервала. Это численное значение является количественной оценкой степени истинности высказывания, относительно которого нельзя с полной уверенностью заключить о его истинности или ложности. Использование в качестве множества истинностных значений интервалапозволяет построить логическую систему, в рамках которой оказалось возможным выполнять рассуждения с неопределенностью и оценивать истинность высказываний.

Исходным понятием нечеткой логики является понятие элементарного нечеткого высказывания.

Элементарное нечеткое высказывание – это повествовательное предложение, выражающее законченную мысль, относительно которой мы можем судить об ее истинности или ложности только с некоторой степенью уверенности. В нечеткой логикестепень истинности элементарного нечеткого высказывания принимает значение из замкнутого интервала, причем 0 и 1 являются предельными значениями степени истинности и совпадают со значениями «ложь» и «истина» соответственно.

Нечеткая импликация или импликация нечетких высказываний А и В (читается – «ЕСЛИ А, ТО В») – называется бинарная логическая операция, результат которой является нечетким высказыванием, истинность которого может принимать значение, например, определяемое формулой предложенной Э.Мамдани:

Эту форму нечеткой импликации также называют нечеткой импликацией Мамдани или нечеткой импликациейминимума корреляции.

Классическая нечеткая импликация, предложенная Л.Заде:

Продукционные системы были разработаны в рамках исследований по методам искусственного интеллекта и нашли широкое применение для представления знаний и вывода заключений в экспертных системах, основанных на правилах. Поскольку нечеткий вывод реализуется на основе нечетких продукционных правил, рассмотрение базового формализма нечетких продукционных моделей приобретает самостоятельное значение. При этом нечеткие правила продукций не только во многом близки к логическим моделям, но и, что наиболее важно, позволяют адекватно представить практические знания экспертов в той или иной проблемной области.

Правило нечеткой продукции – под этим правилом понимается выражение вида:

где () – имя нечеткой продукции;- сфера применения нечеткой продукции;- условие применимости ядра нечеткой продукции;- ядро нечеткой продукции, в котором- условие ядра (или антецедент);- заключение ядра (или консеквент);- знак логической секвенции (или следования);- метод или способ определения количественного значения степени истинности заключения ядра;- коэффициент определенности или уверенности нечеткой продукции;- постусловия продукции.

Ядро продукции записывается в виде: , где А, В – некоторые выражения нечеткой логики, которые наиболее часто представляются в форме нечетких высказываний.

Продукционная нечеткая система представляет собой некоторое согласованное множество отдельных нечетких продукций в форме.

При помощи нечетких множеств можно формально определить неточные и многозначные понятия, такие как «высокая температура», «молодой человек», «средний рост» либо «большой город». Перед формулированием определения нечеткого множества необходимо задать так называемую область рассуждений (universe of discourse). В случае неоднозначного понятия «много денег» большой будет признаваться одна сумма, если мы ограничимся диапазоном и совсем другая - в диапазоне . Область рассуждений, называемая в дальнейшем пространством или множеством, будет чаще всего обозначаться символом . Необходимо помнить, что - четкое множество.

Определение 3.1

Нечетким множеством в некотором (непустом) пространстве , что обозначается как , называется множество пар

Функция принадлежности нечеткого множества . Эта функция приписывает каждому элементу степень его принадлежности к нечеткому множеству , при этом можно выделить три случая:

1) означает полную принадлежность элемента к нечеткому множеству , т.е. ;

2) означает отсутствие принадлежности элемента к нечеткому множеству , т.е.;

3) означает частичную принадлежность элемента к нечеткому множеству .

В литературе применяется символьное описание нечетких множеств. Если - это пространство с конечным количеством элементов, т.е. , то нечеткое множество записывается в виде

Приведенная запись имеет символьный характер. Знак «–» не означает деления, а означает приписывание конкретным элементам степеней принадлежности . Другими словами, запись

означает пару

Точно также знак «+» в выражении (3.3) не означает операцию сложения, а интерпретируется как множественное суммирование элементов (3.5). Следует отметить, что подобным образом можно записывать и четкие множества. Например, множество школьных оценок можно символически представить как

что равнозначно записи

Если - это пространство с бесконечным количеством элементов, то нечеткое множество символически записывается в виде

Пример 3.1

Допустим, что - множество натуральных чисел. Определим понятие множества натуральных чисел, «близких числу 7». Это можно сделать определением следующего нечеткого множества :

Пример 3.2

Если , где - множество действительных чисел, то множество действительных чисел, «близких числу 7», можно определить функцией принадлежности вида

Поэтому нечеткое множество действительных чисел, «близких числу 7», описывается выражением

Замечание 3.1

Нечеткие множества натуральных или действительных чисел, «близких числу 7», можно записать различными способами. Например, функцию принадлежности (3.10) можно заменить выражением

На рис. 3.1а и 3.1б представлены две функции принадлежности нечеткого множества действительных чисел, «близких числу 7».

Рис. 3.1. Иллюстрация к примеру 3.2: функции принадлежности нечеткого множества действительных чисел, «близких числу 7».

Пример 3.3

Формализуем неточное определение «подходящая температура для купания в Балтийском море». Зададим область рассуждений в виде множества . Отдыхающий I, лучше всего чувствующий себя при температуре 21°, определил бы для себя нечеткое множество

Отдыхающий II, предпочитающий температуру 20°, предложил бы другое определение этого множества:

С помощью нечетких множеств и мы формализовали неточное определение понятия «подходящая температура для купания в Балтийском море». В некоторых приложениях используются стандартные формы функций принадлежности. Конкретизируем эти функции и рассмотрим их графические интерпретации.

1. Функция принадлежности класса (рис. 3.2) определяется как

где . Функция принадлежности, относящаяся к этому классу, имеет графическое представление (рис. 3.2), напоминающее букву «», причем ее форма зависит от подбора параметров , и . В точке функция принадлежности класса принимает значение, равное 0,5.

2. Функция принадлежности класса (рис. 3.3) определяется через функцию принадлежности класса :

Рис. 3.2. Функция принадлежности класса .

Рис. 3.3. Функция принадлежности класса .

Функция принадлежности класса принимает нулевые значения для и . В точках ее значение равно 0,5.

3. Функция принадлежности класса (рис. 3.4) задается выражением

Читатель с легкостью заметит аналогию между формами функций принадлежности классов и .

4. Функция принадлежности класса (рис. 3.5) определяется в виде

Рис. 3.4. Функция принадлежности класса .

Рис. 3.5. Функция принадлежности класса .

В некоторых приложениях функция принадлежности класса может быть альтернативной по отношению к функции класса .

5. Функция принадлежности класса (рис. 3.6) определяется выражением

Пример 3.4

Рассмотрим три неточных формулировки:

1) «малая скорость автомобиля»;

2) «средняя скорость автомобиля»;

3) «большая скорость автомобиля».

В качестве области рассуждений примем диапазон , где - это максимальная скорость. На рис. 3.7 представлены нечеткие множества , и , соответствующие приведенным формулировкам. Обратим внимание, что функция принадлежности множества имеет тип , множества - тип , а множества - тип . В фиксированной точке км/час функция принадлежности нечеткого множества «малая скорость автомобиля» принимает значение 0,5, т.е. . Такое же значение принимает функция принадлежности нечеткого множества «средняя скорость автомобиля», т.е. , тогда как .

Пример 3.5

На рис. 3.8 показана функция принадлежности нечеткого множества «большие деньги». Это функция класса , причем , , .

Рис. 3.6. Функция принадлежности класса .

Рис. 3.7. Иллюстрация к примеру 3.4: функции принадлежности нечетких множеств «малая» , «средняя» , «большая» скорость автомобиля.

Рис. 3.8. Иллюстрация к примеру 3.5: Функция принадлежности нечеткого множества «большие деньги».

Следовательно, суммы, превышающие 10000 руб, можно совершенно определенно считать «большими», поскольку значения функции принадлежности при этом становятся равными 1. Суммы, меньшие чем 1000 руб, не относятся к «большим», так как соответствующие им значения функции принадлежности равны 0. Конечно, такое определение нечеткого множества «большие деньги» имеет субъективный характер. Читатель может иметь собственное представление о неоднозначном понятии «большие деньги». Это представление будет отражаться иными значениями параметров и функции класса .

Определение 3.2

Множество элементов пространства , для которых , называется носителем нечеткого множества и обозначается (support). Формальная его запись имеет вид

Определение 3.3

Высота нечеткого множества обозначается и определяется как

Пример 3.6

Определение 3.4

Нечеткое множество называется нормальным тогда и только тогда, когда . Если нечеткое множество не является нормальным, то его можно нормализовать при помощи преобразования

где - высота этого множества.

Пример 3.7

Нечеткое множество

после нормализации принимает вид

Определение 3.5

Нечеткое множество называется пустым и обозначается тогда и только тогда, когда для каждого .

Определение 3.6

Нечеткое множество содержится в нечетком множестве , что записывается как , тогда и только тогда, когда

для каждого .

Пример включения (содержания) нечеткого множества в нечетком множестве иллюстрируется на рис. 3.9. В литературе встречается также понятие степени включения нечетких множеств. Степень включения нечеткого множества в нечеткое множество на рис. 3.9 равна 1 (полное включение). Нечеткие множества, представленные на рис. 3.10, не удовлетворяют зависимости (3.27), следовательно, включение в смысле определения (3.6) отсутствует. Однако нечеткое множество содержится в нечетком множестве в степени

Выполняется условие

Рис. 3.12. Нечеткое выпуклое множество.

Рис. 3.13. Нечеткое вогнутое множество.

Рис. 3.13 иллюстрирует нечеткое вогнутое множество. Легко проверить, что нечеткое множество является выпуклым (вогнутым) тогда и только тогда, когда являются выпуклыми (вогнутыми) все его -разрезы.