Главная Страхование Пересечение множеств a и b. Урок "пересечение и объединение множеств"

Пересечение множеств a и b. Урок "пересечение и объединение множеств"

1 Пересечение множеств

Пересечением множеств А и В называют множество, в которое входят те и только те элементы, которые одновременно принадлежат множествам А и В. Обозначение: А ∩ В.

Так любой элемент х из множества А ∩ В обладает свойством

«х € А и х € В», то данное определение пересечения двух множеств можно записать в таком виде: А ∩ В = {х | х€А ^ х€В}.

Если множества А и В не имеют общих элементов, то эти множества не пересекаются. А ∩ В = Ǿ.

Если же множества имеет хотя бы один общий элемент, то говорят, что множества А и В пересекаются или что пересечение множеств Аи В не пусто.

Операция множеств обладает рядом свойств:

1. Пересечение множеств коммутативно: для любых множеств А и В имеем А∩В = В ∩ А

2. Пересечение множеств ассоциативно: для любых множеств А,В,С имеем

(А∩В)∩С=А∩(В∩С). Это позволяет записывать выражение А∩В∩С без скобок и находить пересечение любого числа множеств.

Сравнивая области заштрихованные дважды на рис, приходим к выводу, что множества (А∩В)∩С и А∩(В∩С) равны.

2. Объединение множеств.

Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначение:A U B.

Пример: А = {m, n, p, k, l} и В = {p, r, s, n} является множество A U B ={m, n, p, k, l, r, s}

На рисунке множество A U B изображено заштрихованной областью.

По определению в объединение множеств Аи В могут входить элементы из А, не принадлежащие множеству В, элементы из В, не принадлежащие А, и элементы, принадлежащие множествам А и В одновременно.

Так как любой элемент х из множества A U B обладает свойством «х€А или х€В», то определение объединения двух множеств можно записать так:

A U B = {х | х € А v x € B}.

Операция объединения множеств обладает такими свойствами:

1. Для любых множеств А и В имеем А U В = В U А (коммутативность).

2. Для любых множеств А,В,С имеем (А U В) U С=А U (В U С). (ассоциативность) Это свойство позволяет писать выражение (А U В) U С без скобок и говорить про объединение любого числа множеств.

В частности, для любого множества А имеем:

Связь между операциями пересечения и объединения множеств отражают свойства дистрибутивности.

4. Для любых множеств А, В, С справедливы равенства:

Свойства дистрибутивности иллюстрируются на диаграммах Эйлера –Венна. на рис приведены диаграммы соответствующие левой и правой части соотношения 4б). На первой диаграмме вертикальной штриховкой отмечено множество А, горизонтальной – множество В∩С. Вся заштрихованная область представляет собой множество AU(B∩C). На второй диаграмме вертикальной штриховкой отмечено множество AUB, горизонтальной – множество AUC. Область заштрихованная дважды, изображает множество (АUB)∩(AUC).

Рассматривая полученные области, приходим к выводу, что множества AU(B∩C) и (АUB)∩(AUC) равны.

Цели урока :

образовательные: формирование умений выделять множества, подмножества; формирование навыков находить на изображениях область пересечения и объединения множеств и называть элементы из этой области, решать задачи;
развивающие: развитие познавательного интереса учащихся; развитие интеллектуальной сферы личности, развитие умений сравнивать и обобщать.
воспитательные: воспитывать аккуратность и внимательность при решении.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Учитель сообщает тему урока, совместно с учащимися формулирует цели и задачи.

3. Учитель совместно с учащимися вспоминает материал, изученный по теме «Множества» в 7 классе, вводит новые понятия и определения, формулы для решения задач.

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (основатель теории множеств – Георг Кантор). КАНТОР (Cantor) Георг (1845-1918) - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории трансфинитных (бесконечных) множеств, оказавшей определяющее влияние на развитие математических наук на рубеже 19- 20 вв.

Множество - одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех её разделах.

К сожалению, основному понятию теории – понятию множества – нельзя дать строгого определения. Разумеется, можно сказать, что множество – это «совокупность», «собрание», «ансамбль», «коллекция», «семейство», «система», «класс» и т. д. однако всё это было бы не математическим определением, а скорее злоупотреблением словарным богатством русского языка.

Для того чтобы определить какое – либо понятие, нужно, прежде всего, указать, частным случаем какого более общего понятия, оно является, для понятия множества сделать это невозможно, потому что более общего понятия, чем множество, в математике нет.

Часто приходится говорить о нескольких вещах, объединенных некоторым признаком. Так, можно говорить о множестве всех стульев в комнате, о множестве всех клеток человеческого тела, о множестве всех картофелин в данном мешке, о множестве всех рыб в океане, о множестве всех квадратов на плоскости, о множестве всех точек на данной окружности т. д.

Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами.

Например, множество дней недели состоит из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.

Множество месяцев – из элементов: январь, февраль, март, апрель, май, июнь, июль, август, сентябрь, октябрь, ноябрь, декабрь.

Множество арифметических действий - из элементов: сложение, вычитание, умножение, деление.

Например, если А означает множество всех натуральных чисел, то 6 принадлежит к А, а 3 не принадлежит к А.

Если А - множество всех месяцев в году, то май принадлежит к А, а среда не принадлежит к А.

Если множество содержит конечное число элементов, то его называют конечным, а если в нем бесконечно много элементов, то бесконечным. Так множество деревьев в лесу конечно, а множество точек на окружности бесконечно.

Парадокс в логике - это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям.

Как уже упоминалось, понятие множества лежит в основе математики. Используя простейшие множества и различные математические конструкции, можно построить практически любой математический объект. Идею построения всей математики на основе теории множеств активно пропагандировал Г.Кантор. Однако, при всей своей простоте, понятие множества таит в себе опасность появления противоречий или, как ещё говорят, парадоксов. Появление парадоксов связано с тем, что далеко не всякие конструкции и не всякие множества можно рассматривать.

Самый простой из парадоксов - это "парадокс брадобрея ".

Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление. Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу он обязан брить. Парадокс.

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые. Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись a R означает, что элемент а принадлежит множеству R , то есть а R . В противном случае, когда а не принадлежит множеству R , пишут a R .

Два множества А и В называются равными (А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .

Сравнение множеств.

Множество A содержится во множестве B (множество B включает множество A), если каждый элемент A есть элемент В:

Говорят, что множество А содержится в множестве В или множество А является подмножеством множества В (в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В . Эта зависимость между множествами называется включением . Для любого множества А имеют место включения: ØА и А А

В этом случае A называется подмножеством B , B - надмножеством A. Если , то A называется собственным подмножеством В . Заметим, что ,

По определению ,

Два множества называются равными , если они являются подмножествами друг друга

Операции над множествами

Пересечение.

Объединение.

Свойства.

1.Операция объединения множеств коммутативна

2.Операция объединения множеств транзитивна

3. Пустое множество X является нейтральным элементом операции объединения множеств

1. Пусть A = {1,2,3,4},B = {3,4,5,6,7}. Тогда

2. А={2,4,6,8,10}, В = {3,6,9,12}. Найдём объединение и пересечение этих множеств:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Множество детей является подмножеством всего населения

4. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел.

5. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество положительных чисел.

6.Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.

Диаграммы Венна (Venn diagrams ) - общее название целого ряда методов визуализации и способов графической иллюстрации, широко используемых в различных областях науки и математики : теория множеств, собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства; разновидностями диаграмм Венна служат: диаграммы Эйлера,

Диаграмма Венна четырёх множеств.

Собственно «диаграмма Венна» показывает все возможные отношения между множествами или событиями из некоторого семейства. Обычная диаграмма Венна имеет три множества. Сам Венн пытался найти изящный способ с симметричными фигурами , представляющий на диаграмме большее число множеств, но он смог это сделать только для четырех множеств (см. рисунок справа), используя эллипсы.

Диаграммы Эйлера

Диаграммы Эйлера аналогичны диаграммам Венна.Диаграммы Эйлера можно использовать, для того, чтобы оценивать правдоподобность теоретико-множественных тождеств.

Задача 1. В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

Решение: Сначала заметим, что из 30 человек не умеют петь 30 - 17 = 13 человек.

Все они умеют танцевать, т.к. по условию каждый ученик класса поёт или танцует. Всего умеют танцевать 19 человек, из них 13 не умеют петь, значит, танцевать и петь одновременно умеют 19-13 = 6 человек.

Задачи на пересечение и объединение множеств.

Даны множества А = {3,5, 0, 11, 12, 19}, В = {2,4, 8, 12, 18,0}.
Найдите множества AU В,
Составьте не менее семи слов, буквы которых образуют подмножества множества
А -{к,а,р,у,с,е,л,ь}.
Пусть A - это множество натуральных чисел, делящихся на 2, а В - множество натуральных чисел, делящихся на 4. Какой вывод можно сделать относительно данных множеств?
На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?
Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 - лимонад, а 15 - и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?
12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 -фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?
Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?
Из 29 мальчишек нашего двора только двое не занимаются спортом, а остальные посещают футбольную или теннисную секции, а то и обе. Футболом занимается 17 мальчишек, а теннисом - 19. Сколько футболистов играет в теннис? Сколько теннисистов играет в футбол?
65 % бабушкиных кроликов любят морковку, 10 % любят и морковку, и капусту. Сколько процентов кроликов не прочь полакомиться капустой?
В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 -черешню. Двое любят груши и черешню; 6 - груши и яблоки; 5 -яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?
В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 -умных и 9 -добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?
В нашем классе 35 учеников. За первую четверть пятерки по русскому языку имели 14 учеников; по математике - 12; по истории - 23. По русскому и математике - 4; по математике и истории - 9; по русскому языку и истории - 5. Сколько учеников имеют пятерки по всем трем предметам, если в классе нет ни одного ученика, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?
Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 - испанский, 75 - немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?
Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 -в Италии, 6 - в Англии; в Англии и Италии - 5; в Англии и Франции - 6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

5. Подведение итогов урока.

6. Рефлексия.

Мне больше всего удалось…
Для меня было открытием то, что …
За что ты можешь себя похвалить?
Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?
Мои достижения на уроке.

7. Домашнее задание.

Макарычев. Пункт 13. №263, №264, №265, №266, № 271, №272.
Составить задачи на применение теории множеств.
По группам подготовить презентации по теме « Множества».

Решение некоторых математических задач заставляет находить пересечение и объединение числовых множеств . Мы уже познакомились с принятыми обозначениями числовых множеств , а в этой статье мы тщательно и на примерах разберемся с нахождением пересечения и объединения числовых множеств. Эти навыки пригодятся, в частности, в процессе решения неравенств с одной переменной и их систем.

Навигация по странице.

Простейшие случаи

Под простейшими случаями мы будем понимать нахождение пересечения и объединения числовых множеств, являющихся набором отдельных чисел. В этих случаях достаточно использовать определения пересечения и объединения множеств .

Напомним, что

Определение.

объединением двух множеств является множество, каждый элемент которого является элементом какого-либо из исходных множеств, а пересечением множеств называется множество, состоящее из всех общих элементов исходных множеств.

Из данных определений несложно получить следующие правила нахождения пересечения и объединения множеств:

Для того чтобы составить объединение двух числовых множеств, содержащих конечное число элементов, нужно записать все элементы одного множества и к ним дописать недостающие элементы из второго.
Для того чтобы составить пересечение двух числовых множеств, надо последовательно брать элементы первого множества и проверять, принадлежат ли они второму множеству, те из них, которые принадлежат, и будут составлять пересечение.

Действительно, полученное по первому правилу множество будет состоять из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств, поэтому будет объединением этих множеств по определению. А множество, составленное по второму правилу, будет содержать все общие элементы исходных множеств, то есть, будет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим на конкретных примерах применение озвученных правил для нахождения пересечения и объединения множеств.

Например, пусть нужно найти объединение числовых множеств A={3, 5, 7, 12} и B={2, 5, 8, 11, 12, 13} . Записываем все элементы, например, множества A , имеем 3 , 5 , 7 , 12 , и к ним добавляем недостающие элементы множества B , то есть, 2 , 8 , 11 и 13 , в результате имеем числовое множество {3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13} . Не помешает упорядочить элементы полученного множества, в итоге получаем искомое объединение: A∪B={2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13} .

Теперь найдем пересечение двух числовых множеств из предыдущего примера A={3, 5, 7, 12} и B={2, 5, 8, 11, 12, 13} . Согласно правилу, будем последовательно перебирать элементы первого множества A и проверять, входят ли они во множество B . Берем первый элемент 3 , он не принадлежит множеству B , следовательно, он не будет и элементом искомого пересечения. Берем второй элемент множества A , это число 5 . Оно принадлежит множеству B , поэтому принадлежит и пересечению множеств A и B . Так найден первый элемент искомого пересечения – число 5 . Переходим к третьему элементу множества A , это число 7 . Оно не принадлежит B , значит, не принадлежит и пересечению. Наконец, остался последний элемент множества A – число 12 . Оно принадлежит множеству B , следовательно, оно является и элементом пересечения. Итак, пересечение множеств A={3, 5, 7, 12} и B={2, 5, 8, 11, 12, 13} – это есть множество, состоящее из двух элементов 5 и 12 , то есть, A∩B={5, 12} .

Как Вы заметили, выше мы говорили о нахождении пересечения и объединения двух числовых множеств. Что же касается пересечения и объединения трех и большего числа множеств, то его нахождение можно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы найти пересечение трех множеств A , B и D можно сначала найти пересечение A и B , после чего найти пересечение полученного результата с множеством D . А теперь конкретно: возьмем числовые множества A={3, 9, 4, 3, 5, 21} , B={2, 7, 9, 21} и D={7, 9, 1, 3} и найдем их пересечение. Имеем A∩B={9, 21} , а пересечение полученного множества с множеством D есть {9} . Таким образом, A∩B∩D={9} .

Однако на практике для нахождения пересечения трех, четырех и т.д. простейших числовых множеств, состоящих из конечного числа отдельных чисел, удобно использовать правила, схожие с указанными выше правилами.

Так, чтобы получить объединение трех и большего числа множеств указанного типа, надо к числам первого числового множества добавить недостающие числа второго, к записанным числам добавляем недостающие числа третьего множества и так далее. Чтобы пояснить этот момент возьмем числовые множества A={1, 2} , B={2, 3} и D={1, 3, 4, 5} . К элементам 1 и 2 числового множества A добавляем недостающее число 3 множества B , получаем 1 , 2 , 3 , и к этим числам добавляем недостающие числа 4 и 5 множества D , в итоге получаем нужное нам объединение трех множеств: A∪B∪C={1, 2, 3, 4, 5} .

Что же касается нахождения пересечения трех, четырех и т.д. числовых множеств, состоящих из конечного числа отдельных чисел, нужно последовательно перебрать числа первого множества и проверять, принадлежит ли проверяемое число каждому из остальных множеств. Если да, то это число является элементом пересечения, если нет – то не является. Здесь лишь заметим, что целесообразно в качестве первого брать множество с наименьшим числом элементов. В качестве примера возьмем четыре числовых множества A={3, 1, 7, 12, 5, 2} , B={1, 0, 2, 12} , D={7, 11, 2, 1, 6} , E={1, 7, 15, 8, 2, 6} и найдем их пересечение. Очевидно, множество B содержит меньше всего элементов, поэтому для нахождения пересечения исходных четырех множеств будем брать элементы множестваB и проверять, входят ли они в остальные множества. Итак, берем 1 , это число является элементами и множества A , и D и E , так что это первый элемент искомого пересечения. Берем второй элемент множества B – это нуль. Это число не является элементом множества A , поэтому не будет является и элементом пересечения. Проверяем третий элемент множества B – число 2 . Это число является элементом всех остальных множеств, поэтому, является вторим найденным элементом пересечения. Наконец, остается четвертый элемент множества B . Это число 12 , оно не является элементом множества D , поэтому, не является и элементом искомого пересечения. В итоге имеем A∩B∩D∩E={1, 2} .

Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

В нашем примере имеем записи

И

для пересечения и объединения числовых множеств соответственно.

Дальше изображают еще одну координатную прямую, ее удобно расположить под уже имеющимися. На ней будет изображаться искомое пересечение или объединение. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств. При этом эти точки сначала отмечают черточками, позже, когда будет выяснен характер точек с этими координатами, черточки будут заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем случае это точки с координатами −3 и 7 .
Имеем

и

Точки, изображенные на нижней координатной прямой на предыдущем шаге алгоритма, позволяют рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек, о чем мы говорили в . В нашем случае координатную прямую рассматриваем как набор следующих пяти числовых множеств: (−∞, −3) , {−3} , (−3, 7) , {7} , (7, +∞) .

И остается лишь по очереди проверить вхождение каждого из записанных множеств в искомое пересечение или объединение. Все сделанные выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: если промежуток входит в пересечение или объединение, то над ним изображается штриховка, если точка входит в пересечение или объединение, то обозначающий ее штрих заменяем на сплошную точку, если не входит – то делаем ее выколотой. При этом следует придерживаться следующих правил:

промежуток включается в пересечение, если он одновременно включен и в множество A , и в множество B (другими словами, если есть штриховка над этим промежутком над обеими верхними координатными прямыми, отвечающими множествам A и B );
точка включается в пересечение, если она одновременно входит и в множество A , и в множество B (другими словами, если эта точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обеих числовых множеств A и B );
промежуток входит в объединение, если он входит хотя бы в одно из множеств A или B (иными словами, если есть штриховка над этим промежутком хотя бы над одной из координатных прямых, отвечающих множествам A и B );
точка входит в объединение, если она входит хотя бы в одно из множеств A или B (другими словами, если эта точка невыколотая или внутренняя точка какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B ).

Проще говоря, пересечение числовых множеств A и B представляет собой объединение всех числовых промежутков множеств A и B , над которыми одновременно есть штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих одновременно и A , и B . А объединение двух числовых множеств есть объединение всех числовых промежутков, над которыми есть штриховка хотя бы у одного из множеств A или B , а также всех невыколотых отдельных точек.

Возвращаемся к нашему примеру. Закончим нахождение пересечения множеств. Для этого последовательно будем проверять множества (−∞, −3) , {−3} , (−3, 7) , {7} , (7, +∞) . Начинаем с (−∞, −3) , для наглядности выделим его на чертеже:

Этот промежуток не включаем в искомое пересечение, так как он не включен ни в A , ни в B (над этим промежутком нет штриховки). Так на этом шаге ничего на нашем чертеже не отмечаем и он сохраняет свой начальный вид:

Переходим к следующему множеству {−3} . Число −3 принадлежит множеству B (это невыколотая точка), но очевидно не принадлежит множеству A , поэтому не принадлежит и искомому пересечению. Поэтому на нижней координатной прямой делаем точку с координатой −3 выколотой:

Проверяем следующее множество (−3, 7) .

Оно входит в множество B (над этим интервалом есть штриховка), но не входит в множество A (над этим интервалом нет штриховки), поэтому, не будет входить и в пересечение. Следовательно, на нижней координатной прямой ничего не отмечаем:

Переходим к множеству {7} . Оно включено в множество B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [−3, +∞)) , но не включено в множество A (эта точка выколотая), поэтому оно не будет включено и в искомое пересечение. Отмечаем точку с координатой 7 как выколотую:

Остается проверить промежуток (7, +∞) .

Он входит и в множество A , и в множество B (над этим промежутком есть штриховка), поэтому входит и в пересечение. Ставим штриховку над этим промежутком:

В результате на нижней координатной прямой мы получили изображение искомого пересечения множеств A=(7, +∞) и B=[−3, +∞) . Очевидно, оно представляет собой множество всех действительных чисел, больших семи, то есть, A∩B=(7, +∞) .

Теперь найдем объединение множеств A и B . Начинаем последовательную проверку множеств (−∞, −3) , {−3} , (−3, 7) , {7} , (7, +∞) на предмет их включения в искомое объединение двух числовых множеств A и B .

Первое множество (−∞, −3) не входит ни в A , ни в B (над этим промежутком нет штриховки), поэтому это множество не будет входить и в искомое объединение:

Множество {−3} входит в множество B , поэтому будет входить и в объединение множеств A и B :

Интервал (−3, 7) тоже входит в B (есть штриховка над этим интервалом), следовательно, он будет составной частью искомого объединения:

Множество {7} тоже будет входить в искомое объединение, так как оно входит в числовое множество B :

Наконец, (7, +∞) входит и в множество A , и в множество B , следовательно, будет входить и в искомое объединение:

По полученному изображению объединения множеств A и B заключаем, что A∩B=[−3, +∞) .

Получив некоторый практический опыт, проверку вхождения отдельных промежутков и чисел в состав пересечения или объединения можно будет проводить устно. Благодаря этому, Вы сможете очень быстро записывать результат. Покажем, как будет выглядеть решение примера, если не давать пояснения.

Пример.

Найдите пересечение и объединение множеств A=(−∞, −15)∪{−5}∪∪{12} и B=(−20, −10)∪{−5}∪(2, 3)∪{17} .

Решение.

Изобразим данные числовые множества на координатных прямых, это позволит нам получить изображения их пересечения и объединения:

Ответ:

A∩B=(−20, −15)∪{−5}∪(2, 3) и A∪B=(−∞, −10)∪{−5}∪∪{12, 17} .

Понятно, что при должном понимании озвученный выше алгоритм можно оптимизировать. Например, при нахождении пересечения множеств нет необходимости в проверке всех промежутков и множеств, состоящих их отдельных чисел, на которые разбивают координатную прямую граничные точки исходных множеств. Можно ограничиться проверкой лишь тех промежутков и чисел, которые составляют множество A или B . Остальные промежутки все равно не будут входить в пересечение, так как не принадлежат одному из исходных множеств. Проиллюстрируем сказанное, разобрав решение примера.

Пример.

Каково пересечение числовых множеств A={−2}∪(1, 5) и B=[−4, 3] ?

Решение.

Построим геометрические образы числовых множеств A и B :

Граничные точки заданных множеств разбивают числовую прямую на следующие множества: (−∞, −4) , {−4} , (−4, −2) , {−2} , (−2, 1) , {1} , (1, 3) , {3} , (3, 5) , {5} , (5, +∞) .

Несложно заметить, что числовое множество A можно «собрать» из только что записанных множеств, объединив {−2} , (1, 3) , {3} и (3, 5) . Для нахождения пересечения множеств A и B достаточно проверить, включены ли последние множества в множество B . Те из них, которые включены в B , и будут составлять искомое пересечение. Выполним соответствующую проверку.

Очевидно, {−2} входит в множество B (так как точка с координатой −2 является внутренней точкой отрезка [−4, 3]) . Интервал (1, 3) тоже входит в B (над ним есть штриховка). Множество {3} также входит в B (точка с координатой 3 является граничной и невыколотой множества B ). А интервал (3, 5) не входит в числовое множество B (над ним нет штриховки). Отметив сделанные выводы на чертеже, он примет такой вид

Таким образом, искомое пересечение двух исходных числовых множеств A и B представляет собой объединение следующих множеств {−2} , (1, 3) , {3} , которое можно записать как {−2}∪(1, 3] .

Ответ:

{−2}∪(1, 3] .

Остается лишь обговорить, как находить пересечение и объединение трех и большего количества числовых множеств. Эту задачу можно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств: сначала первого со вторым, дальше полученного результата с третьим, дальше полученного результата с четвертым и так далее. А можно использовать алгоритм, аналогичный уже озвученному. Единственное его отличие в том, что проверку вхождения промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел, нужно проводить не по двум, а по всем исходным множествам. Рассмотрим пример нахождения пересечения и объединения трех множеств.

Пример.

Найдите пересечение и объединение трех числовых множеств A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪{40} .

Решение.

Сначала, как обычно, изображаем числовые множества на координатных прямых, и ставим слева от них фигурную скобку, обозначающую пересечение, и квадратную скобку для объединения, а снизу изображаем координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:

Так координатная прямая оказывается представлена числовыми множествами (−∞, −3) , {−3} , (−3, 12) , {12} , (12, 25) , {25} , (25, 40) , {40} , (40, ∞) .

Начинаем поиск пересечения, для этого по очереди смотрим, входят ли записанные множества в каждое из множеств A , B и D . Во все три исходных числовых множества входит интервал (−3, 12) и множество {12} . Они и составляют искомое пересечение множеств A , B и D . Имеем A∩B∩D=(−3, 12] .

В свою очередь искомое объединение будут составлять множества (−∞, −3) (входит в A ), {−3} (входит в A ), (−3, 12) (входит в A ), {12} (входит в A ), (12, 25) (входит в B ), {25} (входит в B ) и {40} (входит в D ). Таким образом, A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40} .

Ответ:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40} .

В заключение заметим, что пересечение числовых множеств частенько является пустым множеством. Это отвечает случаям, когда исходные множества не имеют элементов, одновременно принадлежащих всем им.

(10, 27) , {27} , (27, +∞) . Ни одно из записанных множеств одновременно не входит в четыре исходных множества, а это означает, что пересечение множеств A , B , D и E есть пустое множеств.

Ответ:

A∩B∩D∩E=∅.

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Основные понятия теории множеств.
Пересечение и объединение множеств

Цели: ознакомить учащихся с основными понятиями теории множеств, операциями над множествами (пересечение и объединение множеств); формировать умения задавать множества и проводить над ними основные операции.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверочная работа.

В а р и а н т 1

b = 5,82 ± 0,01.

2. Представьте каждое из чисел 2 и 14 в виде десятичной дроби. Округлите полученные дроби до сотых и найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.

В а р и а н т 2

1. Запишите в виде двойного неравенства u = 6,75 ± 0,01.

2. Представьте каждое из чисел 6 и 18 в виде десятичной дроби. Округлите полученные дроби до десятых и найдите абсолютную и относительную погрешности приближения.

III. Объяснение нового материала.

Наиболее ответственным шагом при ознакомлении учащихся с теоретико-множественными понятиями является введение неопределяемых понятий множества, его элемента и принадлежности.

I б л о к.

1. О с н о в н ы е п о н я т и я.

Одно из основных понятий современной математики – множество . Это понятие обычно принимается за первичное и поэтому не определяется через другие.

Когда в математике говорят о множестве (чисел, точек, функций и т. д.), то объединяют эти объекты в одно целое – множество, состоящее из этих объектов (чисел, точек, функций и т. д.). Основатель теории множеств, немецкий математик Георг Кантор (1845–1918), выразил эту мысль следующим образом: «Множество есть многое, мыслимое как единое, целое».

Множество – это совокупность объектов, объединённых между собой по какому-либо признаку.

Слово «множество» в обычном смысле всегда связывается с большим числом предметов. Например, мы говорим, что в лесу множество деревьев, но если перед домом два дерева, в обычной речи не говорят, что перед домом «множество деревьев».

Математическое же понятие множества не связывается обязательно с большим числом предметов. В математике удобно рассматривать и «множества», содержащие 3; 2 или 1 предмет и даже «множество», не содержащее ни одного предмета (пустое множество). Например, мы говорим о множестве решений уравнения до того, как узнаем, сколько оно имеет решений.

Произвольные множества обозначают большими латинскими буквами А , В , С , ... Пустое множество , то есть множество, которое не имеет элементов, обозначается символом .

О предметах, составляющих множество, говорят, что они принадлежат этому множеству, или являются его элементами. Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами а , b , с , ... или одной какой-нибудь буквой с индексом, например а 1 , а 2 , ... , а п .

Предложение «предмет а принадлежит множеству А », или «предмет а – элемент множества А », обозначают символом а А .

2. С п о с о б ы з а д а н и я м н о ж е с т в:

1) Множество может быть задано непосредственным перечислением всех его элементов (в произвольном порядке). В таком случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются между собой запятыми и заключаются в фигурные скобки.

Н а п р и м е р: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество цифр десятичной системы счисления.

Необходимо различать объекты, обозначаемые символами а и {а }. Символом а означается предмет, символом {а} – множество, состоящее из одного элемента а (единичное множество) . Перечислением всех элементов можно задать лишь конечное множество. Такие множества, как, например, множество всех натуральных (N ) или всех целых чисел (Z ), нельзя задать таким способом, так как мы не можем перечислить все N и все Z – таких чисел бесконечное множество .

2) Имеется другой (универсальный) способ задания множества в том смысле, что этим способом может быть задано не только конечное, но и бесконечное множество. Множество может быть задано указанием характеристического свойства, то есть такого свойства, которым обладают все элементы этого множества и не обладает ни один предмет, не являющийся его элементом.

Н а п р и м е р: {x | x – делятся на 10};

A = {a | a – число, которое меньше, чем 100}.

3. У п р а ж н е н и я:

а) Назовите известные вам множества людей (например, команда).

б) Запишите множества, элементами которых являются:

1) планеты Солнечной системы;

2) столицы государств;

3) все двузначные числа;

4) числа, делящиеся на 7.

в) Пусть А – множество чисел, на которые делится 100 без остатка. Верна ли запись:

1) 5 А ; 2) 12 А ; 3) 7 А ; 4) 4 А?

г) Пусть даны множества А = {а  а – число, кратное двум} и В =
= {b  b – число, кратное шести}.

В ы п и ш и т е:

1) два элемента, принадлежащих множеству А , но не принадлежащих множеству В ;

2) два элемента, принадлежащих и множеству А, и множеству В ;

3) два элемента не принадлежащих ни множеству А , ни множеству В .

II б л о к.

1. Р а в е н с т в о м н о ж е с т в.

Очень важной особенностью множества является то, что в нём нет одинаковых элементов, вернее, что все они отличны друг от друга. Это значит, можно записать сколько угодно одинаковых элементов, но выступать они будут как один. То есть множество не может содержать одни и те же элементы в нескольких вариантах. Предположим, что мы записали множество {7, 9, 7, 11, 7}. В этом множестве элемент 7 повторяется несколько раз, но мы его будем рассматривать как один. Поэтому наше множество будет {7, 9, 11}.

Рассмотрим два множества: {а , b , с } и {b , а , с }. Эти множества состоят из одних и тех же элементов, хотя они записаны в разном порядке. Такие множества называются равными. Итак, два множества равны , если содержат одни и те же элементы.

2. П е р е с е ч е н и е м н о ж е с т в.

Рассмотрим два множества: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Составим новое множество С , в которое запишем общие элементы А и В . Общими у них являются элементы 5 и 6, значит, С = {5, 6}. Множество С является пересечением множеств А и В , обозначается так:

О п р е д е л е н и е: Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

3. О б ъ е д и н е н и е м н о ж е с т в.

Возьмём те же два множества: А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и В = {5, 6, 7, 8, 9}. Составим теперь множество D таким образом, чтобы в него вошли все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В .

Здесь следует ознакомить учащихся с приёмом задания объединения множеств: сперва мы выписываем все элементы множества А , а затем те элементы множества В , которые не принадлежат множеству А . Получим: D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Множество D является объединением множеств А и В , обозначается так:

О п р е д е л е н и е: Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

4. У п р а ж н е н и я:

а) Верна ли запись:

1) {8, 12, 16, 20} = {12, 20, 16, 18};

2) {m , n , p , q } = {p , m , q , n };

3) {3, 4, 3, 5} = {3, 4, 5}?

б) Запишите множества, равные:

1) {2, 3, 2, 4, 2, 5}; 2) {f , f , f , m , m , m }.

в) Даны множества А = {3, 4, 5}, В = {5, 6, 7, 8}, С = {2, 4, 8} и K = {1, 3, 5, 7}. Найдите:

1) А K ; 5) А K ;

2) А С ; 6) А С ;

3) А В ; 7) А В ;

4) А K В ; 8) А K В .

IV. Формирование умений и навыков.

На этом уроке отрабатываются умения задавать множества, правильно оформляя запись, а также находить пересечение и объединение множеств, пользуясь введенными определениями.

Р е ш е н и е

х = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};

у = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.

х у = {11, 13, 17, 19};

х у = {2, 3, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}.В .

V. Итоги урока.

В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Какие способы задания множеств существуют?

– Какие два множества являются равными?

– Как называется множество, в котором нет ни одного элемента?

– Что называется пересечением двух множеств?

– Что называется объединением двух множеств?

Домашнее задание.

1. № 800, № 801 (б), № 802 (б).

2. Укажите наибольший и наименьший элементы пересечения множества двузначных чисел, кратных 9, и множества нечётных двузначных чисел.

В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое".

Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы ниже разберём. Кроме того, на основе теории множества создана концепция реляционных баз данных, а на основе операций над множествами - реляционная алгебра и её операции - используемые в языках запросов к базам данных, в частности, SQL.

Пример 0 (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе.

Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты). И формируем подмножества: магазины "Солнышко", "Ветерок", "Огонёк", а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств. Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее). Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком "плюс": A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее).

Код PASCAL

Program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End.

Какие бывают множества

Объекты, составляющие множества - объекты нашей интуиции или интеллекта - могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:

Натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...

Простых чисел

Чётных целых чисел

и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в этого материала).

Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать, что множество - это "мешок с элементами". Очень важно: в множестве не бывает одинаковых элементов.

Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество - это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Если M - множество, а a - его элемент, то пишут: a ∈M , что означает "a принадлежит множеству M ".

Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах:

hleb ∈VETEROK ,

что означает: элемент "hleb" принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине "VETEROK".

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Множество можно задать, перечислив все его элементы, например:

VETEROK = {hleb , syr , maslo } ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.

Для описания множеств используется следующий способ. Пусть p (x ) - некоторое высказывание, которое описывает свойства переменной x , областью значений которых является множество M . Тогда через M = {x | p (x )} обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых высказывание p (x ) истинно. Это выражение читается так: "Множество M , состоящее из всех таких x , что p (x ) ".

Например, запись

M = {x | x ² - 3x + 2 = 0}

Пример 6. Согласно опросу 100 покупателей рынка, купивших цитрусовые, апельсины купили 29 покупателей, лимоны - 30 покупателей, мандарины - 9, только мандарины - 1, апельсины и лимоны - 10, лимоны и мандарины - 4, все три вида фруктов - 3 покупателя. Сколько покупателей не купили ни одного вида перечисленных здесь цитрусовых? Сколько покупателей купили только лимоны?

Операция декартова произведения множеств

Для определения ещё одной важной операции над множествами - декартова произведения множеств введём понятие упорядоченного набора длины n .

Длиной набора называется число n его компонент. Набор, составленный из элементов , взятых именно в этом порядке, обозначается . При этом i я () компонента набора есть .

Сейчас последует строгое определение, которое, возможно, не сразу понятно, но после этого определения будет картинка, по которой станет понятно, как получить декартово произведение множеств.

Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n , i -я компонента которых принадлежит .