Геннадий сапронов биография. Как вы полагаете, литература должна воспитывать? Вы верили в успех вашей затеи

• Определители и их свойства.
• Вычисление определителей.
• В данной лекции рассматриваются основные положения...

Подробнее о программе

• Определители и их свойства. В данной лекции рассматривается понятие определителя матрицы и связанные с этим понятием определения. Вводится понятие линейной комбинации строк и транспонированной матрицы. Приведены примеры решения задач, а также упражнения для самостоятельного решения
• Вычисление определителей. В данной лекции рассматриваются примеры вычисления определителей. Приведены определения минора, алгебраического дополнения и определителя Вандермонда. Рассмотрены примеры решения задач и приведены упражнения для самостоятельного решения
• Линейные преобразования линейных пространств столбцов. Данная лекция посвящена линейным преобразованиям линейных пространств столбцов, задаваемых прямоугольной матрицей. Рассмотрены основные определения, приведены доказательства базовых теорем и упражнения для самостоятельного рассмотрения
• Линейное пространство M_m,n (K) прямоугольных матриц размера mxn. В данной лекции рассматриваются основные положения и определения алгебры матриц. Рассматривается способ умножения матриц, приведены примеры, доказаны основные теоремы. Также представлены задачи для самостоятельного решения
• Многочлены от матриц, теорема Гамильтона-Кэли. Обратная матрица. В данной лекции основное внимание уделено понятию многочленов от матриц, а также рассмотрена теорема Гамильтона-Кэли. Приведены основные понятия, в частности, очень важное определение обратной матрицы. Приведены примеры решения задач, доказаны основные теоремы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения
• Свойства линейного пространства. В данной лекции рассматриваются линейные пространства. Рассмотрены основные свойства линейных пространств, основные зависимости и возможные действия в них. Приведено также очень важное понятие базиса, доказаны основные теоремы и предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Единственность главного ступенчатого вида матрицы. В данной лекции речь идет о единственности главного ступенчатого вида матрицы. Приведены примеры ступенчатых матриц, рассмотрено понятие изоморфизма линейных пространств, доказана обратимость матрицы перехода. Также приведены доказательства основных теорем и предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Линейные подпространства линейных пространств. В данной лекции рассматриваются линейные подпространства линейных пространств, приведены определения их суммы и их пересечения, рассмотрено понятие линейной оболочки элементов линейного пространства. Приведены доказательства основных теорем и задачи для самостоятельного рассмотрения
• Проективная размерность подпространств и проективная геометрия. Теорема о ранге матрицы. В данной лекции рассматриваются базовые понятия проективной геометрии. Приведено очень важное определение ранга матрицы, определена размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Приведены также доказательства основных теорем, а также предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Собственные числа и собственные векторы матрицы. В данной лекции рассматриваются понятия собственных чисел и собственных векторов матрицы. Приведены основные определения, доказаны основные теоремы. Также приведены примеры решения задач и предоставлены задачи для самостоятельного решения
• Экзамен

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:

I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.

II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.

III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.

Матрица B , полученная из исходной матрицы A конечным числом элементарных преобразований, называется эквивалентной . Это обозначается A\sim B .

Элементарные преобразования применяются для упрощения матриц, что будет в дальнейшем использоваться для решения разных задач.

Покажем, как при помощи элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4). Здесь высота каждой "ступеньки" составляет одну строку, символом 1 (единицей) обозначены единичные элементы матрицы, символом * - обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. К ступенчатому виду можно привести любую матрицу, причем достаточно использовать только элементарные преобразования строк матрицы .

\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 0&\cdots&0&1&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&1&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0 \end{array}\!\!\right)\\ \mathsf{Ris.~1.4}\end{gathered}

Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду

Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.

1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля (ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом (ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.

2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.

3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).

4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.

Пример 1.29. Привести к ступенчатому виду матрицы

A=\begin{pmatrix}3&9\\2&4\end{pmatrix}\!,\quad B=\begin{pmatrix}0&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\!,\quad C=\begin{pmatrix}2&4\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\!.

Решение. В первом столбце матрицы A выбираем ведущий элемент a_{11}=3\ne0 . Делим все элементы первой строки на a_{11}=3 (или, что то же 1 1. самое, умножаем на \tfrac{1}{a_{11}}=\tfrac{1}{3} ):

A=\begin{pmatrix}\boxed{3}&9\\2&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\!.

Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2):

\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3\\0&-2\end{pmatrix}\!.

Первый столбец и первую строку исключаем из рассмотрения. В оставшейся части матрицы имеется один элемент (-2), который выбираем в качестве ведущего. Разделив последнюю строку на ведущий элемент, получаем матрицу ступенчатого вида

\begin{pmatrix}1&3\\0&\boxed{-2}\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\!.

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя. Заметим, что получившаяся матрица является верхней треугольной.

В первом столбце матрицы B выбираем ведущий элемент b_{21}=2\ne0 . Меняем местами строки, ставя ведущую строку на место первой, и делим элементы ведущей строки на ведущий элемент 2:

B=\begin{pmatrix}0&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\boxed{2}&4&6\\0&2&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&2&3\end{pmatrix}\!.

Пункт 3 алгоритма делать не надо, так как под ведущим элементом стоит нуль. Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец. В оставшейся части ведущий элемент - число 2. Разделив ведущую строку (вторую) на 2, получаем ступенчатый вид:

B\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&\boxed{2}&3\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1,\!5\end{pmatrix}\!.

Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя.

В первом столбце матрицы C выбираем ведущий элемент c_{11}=2\ne0 . Первая строка - ведущая. Делим ее элементы на c_{11}=2 . Получаем

C= \begin{pmatrix}\boxed{2}&4\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\!.

Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на (-3) и на (-6) соответственно:

C\sim \begin{pmatrix}\boxed{1}&2\\3&5\\6&7\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&-1\\0&-5\end{pmatrix}\!.

Обратим внимание на то, что полученная матрица еще не является матрицей ступенчатого вида, так как вторую ступеньку образуют две строки (2-я и 3-я) матрицы. Исключив 1-ю строку и 1-й столбец, ищем в оставшейся части ведущий элемент. Это элемент (-1). Делим вторую строку на (-1), а затем к третьей строке прибавляем ведущую (вторую), умноженную на 5:

C\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&\boxed{-1}\\0&-5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&-5\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&2\\0&1\\0&0\end{pmatrix}\!.

Исключим из рассмотрения вторую строку и второй столбец. Поскольку исключены все столбцы, дальнейшие преобразования невозможны. Полученный вид - ступенчатый.

Замечания 1.8.

1. Говорят, что матрица имеет ступенчатый вид также и в случае, когда на месте ведущих элементов (обозначенных на рис. 1.4 единицей) стоят любые отличные от нуля числа.

2. Считается, что нулевая матрица имеет ступенчатый вид.

Пример 1.30. Привести к ступенчатому виду матрицу

A=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\0&1&1&2&3&2\\0&2&2&1&2&1\\0&4&4&4&6&4\end{pmatrix}

Решение. Первый столбец матрицы A - нулевой. Исключаем его из рассмотрения и исследуем оставшуюся часть (последние 5 столбцов):

A=\begin{pmatrix}0\!&\vline\!\!&1&1&1&1&1\\0\!\!&\vline\!\!&1&1&2&3&2\\0\!\!&\vline\!\!&2&2&1&2&1\\0\!\!&\vline\!\!&4&4&4&6&4\end{pmatrix}

Берем в качестве ведущего элемент a_{12}=1 . Прибавляем ко второй строке первую, умноженную на (-1); к третьей строке - первую, умноженную на (-2); к четвертой строке - первую, умноженную на (-4). Тем самым "обнуляются" все элементы второго столбца, расположенные ниже ведущего элемента:

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&-1&0&-1\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.

Полученная матрица не имеет ступенчатого вида, так как одна из ступенек имеет высоту в три строки. Продолжаем преобразования. Первую строку и второй столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку первый столбец в оставшейся части матрицы нулевой, исключаем его. Теперь оставшаяся часть матрицы - это матрица (размеров 3\times3 ), образованная элементами, расположенными в последних трех строках и трех столбцах полученной матрицы. В качестве ведущего элемента выбираем a_{24}=1 . К третьей строке прибавляем вторую. Получаем матрицу

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.

Вторую строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Берем элемент a_{35}=2 в качестве ведущего. Делим третью строку на число 2 (умножаем на 0,5):

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&2&0\end{pmatrix}\!.

К четвертой строке прибавляем третью, умноженную на (-2):

A\sim \begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Третью строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку в оставшейся части матрицы все элементы (один) нулевые, преобразования закончены. Матрица приведена к ступенчатому виду (см. рис. 1.4).

Замечание 1.9. Продолжая выполнять элементарные преобразования над строками матрицы, можно упростить ступенчатый вид, а именно привести матрицу к упрощенному виду (рис. 1.5).

\begin{gathered}\left(\!\!\begin{array}{*{20}{c}} 0&\cdots&0&1&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&1&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast&0&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&0&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&1&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0&0&0&\cdots&0 \end{array}\!\!\right)\\ \mathsf{Ris.~1.5}\end{gathered}

Здесь символом 1 обозначены элементы матрицы, равные единице, символом * - обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. Заметим, что в каждом столбце с единицей остальные элементы равны нулю.

Пример 1.31. Привести к упрощенному виду матрицу

A=\begin{pmatrix}0&1&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&2&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Решение. Матрица имеет ступенчатый вид. Прибавим к первой строке третью, умноженную на (-1), а ко второй строке третью, умноженную на (-2):

A\sim\begin{pmatrix}0&1&1&1&0&1\\ 0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (-1). Получим матрицу упрощенного вида (см. рис. 1.5):

A\sim\begin{pmatrix}0&1&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}\!.

Замечание 1.10. При помощи элементарных преобразований (строк и столбцов) любую матрицу можно привести к простейшему виду (рис. 1.6).

\begin{gathered} \begin{pmatrix} 1&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&1&0&\cdots&0\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&0&\cdots&0 \end{pmatrix}_{m\times n}=\begin{pmatrix}E_r&O\\O&O\end{pmatrix}\!.\\ \mathsf{Ris.~~1.6}\end{gathered}

Левый верхний угол матрицы представляет собой единичную матрицу порядка r~(0\leqslant r\leqslant\min\{m,n\}) , а остальные элементы равны нулю. Считается, что нулевая матрица уже имеет простейший вид (при r=0 ).

Пример 1.32. Привести матрицу A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&4&5\end{pmatrix} к простейшему виду.

Решение. В качестве ведущего элемента возьмем a_{11}=1 . Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2):

A\sim\begin{pmatrix}1&2&3\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!.

Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (-2), а к третьему -первый, умноженный на (-3):

A\sim\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&0&-1\end{pmatrix}\!.

Умножим все элементы последнего столбца на (-1) и переставим его на место второго:

A\sim\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}\!.

Таким образом, исходная матрица A при помощи элементарных преобразований приведена к простейшему виду (см. рис. 1.6).

Свойства элементарных преобразований матриц

Подчеркнем следующие свойства элементарных преобразований матриц .

Теорема 1.1 о приведении матрицы к ступенчатому виду . Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк можно привести к ступенчатому (или даже упрощенному) виду.

Следствие (о приведении матрицы к простейшему виду). Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк и столбцов можно привести к простейшему виду.

Замечания 1.11

1. Преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными . В самом деле, если в матрице поменяли местами два столбца (преобразование I типа), то исходную матрицу можно получить, еще раз поменяв местами эти столбцы. Если столбец матрицы умножили на число \lambda\ne0 (преобразование II типа), то для получения исходной матрицы надо этот столбец умножить на обратное число \tfrac{1}{\lambda}\ne0 . Если к i-му столбцу матрицы прибавили j-й столбец, умноженный на число \lambda , то для получения исходной матрицы достаточно к i-му столбцу матрицы прибавить j-й столбец, умноженный на противоположное число (-\lambda ).

2. В теореме 1.1 говорится о приведении матрицы к ступенчатому (упрощенному) виду при помощи элементарных преобразований только ее строк, не используя преобразования ее столбцов. Чтобы привести произвольную матрицу к простейшему виду (следствие теоремы 1.1), нужно использовать преобразования и строк, и столбцов матрицы.

3. Рассмотрим следующую модификацию пункта 3 метода Гаусса. Ведущий элемент, выбранный в п. 1 метода Гаусса, определяет ведущую строку и ведущий столбец матрицы (он находится на их пересечении). Делим все элементы ведущей строки на ведущий элемент (см. п.2 метода Гаусса). Прибавляя ведущую строку, умноженную на соответствующие числа, к остальным строкам матрицы (аналогично п.3 метода Гаусса), делаем равными нулю все элементы ведущего столбца, за исключением ведущего элемента. Затем, прибавляя полученный ведущий столбец, умноженный на соответствующие числа, к остальным столбцам матрицы, делаем равными нулю все элементы ведущей строки, за исключением ведущего элемента. При этом получаем ведущие строку и столбец, все элементы которых равны нулю, за исключением ведущего элемента, равного единице.

Модифицированный таким образом метод Гаусса называется методом Гаусса-Жордана . Его применение позволяет сразу получить простейший вид матрицы, минуя ее ступенчатый вид.

Любую матрицу можно привести к ступенчатой матрице, выполнив конечное число элементарных преобразований.

Теорема доказывается конструктивно путем перебора конечного числа возможных матриц с нулевыми элементами.

Пример. Приведем к ступенчатому виду следующую матрицу: .

На первом шаге выполним следующие элементарные преобразования над матрицей : к элементам второй строки прибавим элементы первой строки и результат запишем во вторую строку; из элементов третьей строки вычтем элементы первой строки, а результат запишем в третью строку. В итоге матрица преобразуется к виду . На последнем шаге из третьей строки полученной матрицы вычтем вторую строку, умноженную на 3, и запишем в третью строку, в результате чего получим ступенчатую матрицу:

.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Линейное пространство
Множество элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, а его элементы

Множество числовых функций
Рассмотрим множество числовых функций, определенных на некотором промежутке. Любым двум функциям и

Множество всех полиномов степени не выше
Элементами множества являются полиномы вида

Теорема (о существовании и единственности разности элементов)
Для любых двух векторов линейного пространства, существует такой единственный вектор

Теорема (об условиях равенства нулю произведения числа на вектор)
Произведение числа на вектор равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда число равно нулю или вектор равен нулевому вектору. Доказательство.Пусть число

Определители матриц и их свойства
Определители вводятся только для квадратных матриц как некоторое правило, формирующее значение определителя по элементам матрицы. Если элементы матрицы числа, то определитель будет

Теорема (о разложении определителя по любой строке или столбцу)
Определитель порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие алгебраи

Доказательство
Напишем формулу разложения определителя по первой строке. Вид этой формулы не за

Теорема (об определителе произведения двух матриц)
Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей матриц сомножителей. Теоре

Системы линейных уравнений
Общая система из линейных алгебраических уравнений с

Теорема (о существовании и единственности обратной матрицы)
Любая квадратная матрица имеет единственную обратную матрицу, вычисляемую по формуле, тогда и только тогда, ког

Доказательство
Докажем, что условие, является достаточным условием для существования обратной матрицы. На главно

Теорема Крамера
Если в квадратной системе уравнений определитель матрицы коэффициентов не равен нулю, то система имеет единственное решение, которое находится либо матричным способомпо формуле

Доказательство
В соответствии с теоремой о существовании и единственности обратной матрицы, для невырожденной матрицы коэффициентов нашей системы существует единственная обратная матрица

Базис множества векторов и всего линейного пространства
Система векторов называется ба

Теорема (о единственности разложения по данному базису)
Разложение любого вектора по базису

Теорема (о линейных свойствах координат векторов)
При сложении любых двух векторов их координаты в данном базисе складываются, а при умножении любого вектора на любое число координаты умножаются на это число. Доказательство

Доказательство
По определению базиса это означает, что любая строка или столбец матрицы могут быть представлены в виде линейной комбинации базисных строк или базисных столбцов, причем единственным образом. Все ра

Доказательство
Покажем достаточность условия второго следствия. Если строки матрицы линейно зависимы, то по свойству системы зависимых векторов одна из строк является линейной комбинацией остальн

Теорема (о ранге ступенчатой матрицы)
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Доказательство.Ненулевые, ступенчатые строки линейно независимы, что можно показать, составив линейную комб

Теорема (о равносильных переходах)
Любое конечное число элементарных преобразований системы переводят ее в систему, равносильную исходной системе. Доказательство теоремы следует непосредственно из оп

Доказательство
Ранг матрицы коэффициентов системы по определению всегда меньше или равен числа уравнений или числа неизвестных исх

Исследование и решение однородных систем уравнений
Однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое (тривиальное) решение

Доказательство
Необходимость.Пусть есть конечномерное пространство размерности

Теорема (о виде общего решения неоднородной системы уравнений)
Решение неоднородной системы уравнений всегда может быть представлено как сумма общего решения соответствующей

Векторная алгебра
Под векторной алгеброй обычно понимают раздел линейной алгебры, изучающий геометрические векторы на плоскости и реальном пространстве. В математике и ее приложениях встречаются разл

Евклидовы пространства
Определение.Скалярным произведением двух любых векторов линейного пространства называется правило, по которому каждой упорядоченной паре векторов

Теорема (неравенство Коши – Буняковского)
Для любых двух векторов и е

Доказательство
Пусть есть ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства. Предположим, что выполняется ра

Теорема Грама-Шмидта (о существовании ортонормированного базиса)
Во всяком -мерном евкли

Теорема (основные свойства ортонормированного базиса)
1. Координаты произвольного вектора в ортонормированном базисе равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие векторы этого базиса. 2. Скалярное произведение двух

Определение
Каноническим базисом в пространстве трехмерных геометрических векторов называют векторы

Векторное и смешанное векторно-скалярное произведения
Определение.Векторным произведением двух геометрических векторов и

Теорема (условие равенства векторного произведения нулевому вектору)
Векторное произведение двух геометрических векторов и

Теорема (о модуле векторного произведения)
Модуль векторного произведения двух векторов и

Таким образом, смешанное произведение трех компланарных (лежащих в одной плоскости) векторов равно нулю
Рассмотрим далее скалярное произведение вектора на вектор

Линейные геометрические объекты
Определение.Пусть есть некоторый ненулевой вектор, а

Лекции

по алгебре

ФПМ, 1 курс

Осенний семестр 2011/2012 учебного года

Группа ЗИ-11

Лектор – доцент, к. ф.-м. н.

Вопросы к экзамену

I часть. Вопросы по матрицам и определителям

1. Определить сумму матриц и произведение матрицы на число. Вывести свойства этих операций. Записать матрицув виде линейной комбинации базисных матриц.

2. Определить произведение двух квадратных матриц. Вывести свойства произведе­ния. Найти все матрицы, перестановочные с A =. Определить произведение прямо-уголь­ных матриц (когда это возможно).

3. Дать определение элементарных преобразований над строками матрицы и элемен­тарных матриц. Записать элементарные матрицы второго порядка.

4. Сформулировать теорему об умножении матрицы на элементарные. Привести пример для матриц третьего порядка.

5. Дать определение ступенчатой матрицы, матрицы главного ступенчатого вида. Привести пример. Сформулировать теорему Гаусса.

6. Дать определение определителя матрицы порядка n . Сформулировать его свойства.

7. Сформулировать теоремы об антисимметрии и о линейности определителя, вы­вести следствия.

8. Показать, как меняется определитель матрицы при элементарных преобразованиях над строками матрицы.

9. Доказать теорему об определителе треугольной матрицы.

10. Изложить метод Гаусса вычисления определителя матрицы приведением к тре­угольному виду. Привести пример.

11. Дать определение невырожденной матрицы. Показать, каков главный ступенчатый вид невырожденной матрицы. Доказать, что она раскладывается в произведение элементар­ных матриц.

12. Дать определение вырожденной матрицы. Показать, каков главный ступенчатый вид вырожденной матрицы. Доказать, что она раскладывается в произведение элементарных матриц и ступенчатой матрицы с последней нулевой строкой.

13. Дать определение алгебраического дополнения элемента матрицы. Записать раз­ложение определителя по i -й строке и j -му столбцу.

14. Доказать теорему о разложении определителя по элементам строки.

15. Доказать, что сумма произведений элементов строки на алгебраические дополне­ния элементов другой строки равна нулю. Верно ли это для столбцов?

16. Доказать теорему об определителе произведения двух матриц.

17. Дать определение матрицы, обратной к данной. Доказать её единственность. Вы­вести необходимое условие обратимости матрицы.

18. Доказать, что элементарные матрицы обратимы, и найти к ним обратные.

19. Изложить и обосновать метод Гаусса нахождения обратной матрицы. Привести примеры.

20. Вывести формулу для нахождения обратной матрицы. Достаточное условие суще­ствования обратной матрицы.

II часть. Вопросы по системам линейных уравнений

21. Дать определение системы линейных уравнений, совместной и несовместной сис­темы. Привести примеры.

22. Дать определение матрицы системы, расширенной матрицы. Записать в матрич­ном виде систему:

23. Дать определение решения системы, множества, определённой и неопределён­ной системы. Привести примеры.

24. Дать определение равносильных систем. Показать, что при элементарных преоб­разованиях над строками расширенной матрицы система переходит в равносильную.

25. Изложить метод решения систем главного ступенчатого вида. В каком случае та­кая система несовместна?

26. Изложить метод Гаусса решения систем линейных уравнений на примере

27. Дать определение однородной и неоднородной систем. Показать, что однородная система всегда совместна.

28. Доказать, что однородная система m уравнений с n неизвестными при m < n имеет нетривиальное решение. (Сколько таких решений?)

29. Дать определение линейного пространства R n , линейно зависимой и линейно неза­висимой системы векторов. Привести примеры таких систем в R n .

30. Доказать, что k векторов в пространстве R n линейно зависимы при k > n . Показать, что в пространстве R n существует система из n линейно независимых векторов. (Единст­венна ли такая система?)

31. Дать определение линейного подпространства. Привести примеры. Дать опреде­ление линейной оболочки векторов. Доказать, что она является линейным подпространст­вом. Почему этот пример является универсальным?

32. Доказать, что множество решений однородной системы является линейным под­пространством.

33. Дать два определения базиса множества M и показать их равносильность.

34. Дать определение размерности множества. Объяснить, как найти размерность ли­нейной оболочки векторов.

35. Вывести формулу размерности подпространства решенийдля однородной сис­темы линейных уравнений.

36. Дать определение ранга матрицы. Найти по определению ранг матриц

37. Изложить и обосновать метод нахождения ранга матрицы.

38. Изложить метод нахождения базиса конечной системы векторов.

39. Теорема Кронекера – Капелли.

40. Дать определение фундаментальной системы решений. Записать формулу общего решения однородной и неоднородной систем.

III часть. Вопросы по евклидовым пространствам

41. Дать определение евклидова пространства. Привести примеры.

42. Дать определение матрицы Грама системы векторов G (a 1, …, a k ). Найти матрицу Грама ортонормированного базиса.

43. Дать определение длины вектора, угла между векторами. Доказать неравенство Коши – Буняковского.

44. Дать определение скалярного произведения. Вывести формулу для вычисления скалярного произведения через матрицу Грама.

45. Дать определение ортогонального и ортонормированного базиса. Описать процесс ортогонализации.

46. Дать определение ортогонального дополнения L ^ к линейному подпространству L . Доказать, что L ^ является линейным подпространством.

47. Дать определение прямой суммы подпространств. Доказать, что E = L Å L ^.

48. Доказать неравенство треугольника и теорему Пифагора.

49. Дать определение вектора, ортогонального подпространству. Доказать, что вектор ортогонален подпространству тогда и только тогда, когда он ортогонален базису этого под­пространства.

50. Дать определение проекции вектора на подпространство. Доказать её существова­ние и единственность.

51. Дать определение проекции вектора на подпространство. Вывести основные свой­ства проекции вектора на подпространство (линейность, минимальность).

52. Изложить метод нахождения проекции вектора на подпространство, используя ор­тонормированный базис.

53. Дать определение ортогональной составляющей вектора при проектировании на подпространство. Доказать её существование и единственность.

54. Метод наименьших квадратов. Постановка задачи, метод решения.

55. Дать определение решения системы по методу наименьших квадратов. Доказать его существование.

56. Изложить метод нахождения проекции вектора на подпространство, используя матрицу Грама.

57. Метод наименьших квадратов. Постановка задачи. Всегда ли существует реше­ние? Единственно ли оно?

58. Доказать, что ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Лекция 11. Единственность главного ступенчатого вида. Совместность и решения систем

1. Единственность главного ступенчатого вида

Теперь докажем важную теорему о единственности главного ступенчатого вида.

Теорема 1. Пусть B и C главные ступенчатые матрицы, элементарными преобразованиями полученные из некоторой матрицы A. Тогда B= C.

Доказательство. Будем рассматривать матрицуA , как матрицуоднородной системыS . Однородная системаS 1 , отвечающая матрицеB , равносильна однородной системеS , а однородная системаS 2 , отвечающей матрицеC , также равносильнаS . Поэтому системыS 1 иS 2 равносильны. Предположим, чтоB =6 C , тогда найдется такоеi , что столбцы матрицыB с номерами 1; : : : ; i ¡ 1 равны соответствующим столбцам матрицыC , а i -й столбецB не равен i -му столбцуC .

Предположим сначала, что i = 1, т.е. у главных ступенчатых матрицB иC первые столбцы различны. Однако первый столбец главной ступенчатой матрицы или нулевой, или в нем на первом месте стоит 1, а остальные элементы нули. Так как первые столбцы у матрицB иC различны, то (например) уC первый столбец нулевой, а уB первый элемент первого столбца единица (а остальные элементы нули). Но тогда системаS 2 имеет решениеx 1 = 1,x 2 =x 3 =: : : =x n = 0, котороене является решением системыS 1 , что противоречит равносильности этих систем.

Пусть теперь i > 1. Рассмотрим три случая.

² i -й столбец главный и вB и вC . Тогда он имеет один и тот же номерk (как главный столбец) и вB и вC . Но у k -го главного столбца наk -м месте стоит единица, а остальные элементы нули. Значит эти столбцы вB и вC равны. Противоречие.

² i -й столбец главный вB и не главный вC . Пусть этот столбец, как главный столбец в матрицеB , имеет номерk . Тогда в матрицеC нашему столбцу предшествуетk ¡ 1 главный столбец.

Следовательно, в i -м столбце матрицыC может быть лишьk ¡ 1 ненулевой элементa 1 ; : : : ; a k¡ 1 . Пусть первыеk ¡ 1 главных столбцов имеют вB (и вC ) номераi 1 ; : : : ; i k¡ 1 . Рассмотрим решение системыS 2 :

xi 1 = ¡a1 ; xi 2 = ¡a2 ; : : : ; xi k¡ 1 = ¡ak¡ 1 ; xi = 1 ;

а неизвестные, с номерами отличными от i 1 ; : : : ; i k¡ 1 ; i , равны нулю. Тогда это решениене является решением k -го уравнения системыS 1 . Противоречие.

² i -й столбец не главный и вB и вC . Пустьi 1 ; : : : ; i k номера главных столбцов слева от i -го, и пусть элементы i -го столбца равны (¯ 1 ; : : : ; ¯ k ; 0; : : : ) в матрицеB и (° 1 ; : : : ; ° k ; 0: : : ) в матрицеC . Рассмотрим решение системыS 1 :

xi 1 = ¡¯1 ; : : : ; xi k = ¡¯k ; xi = 1 ;

а остальные неизвестные равны нулю. Пусть 1 6 j 6k . Подставим это решение в j -е уравнение системыS 2 . В этом уравнении коэффициенты при всех главных неизвестных, кромеx i j , равны нулю, коэффициент приx i j равен 1, а коэффициент приx i равен° j . Подстановка дает равенство¡¯ j +° j = 0. Таким образом, i -е столбцы вB иC равны. Противоречие.

Теорема доказана.

2. Совместность системы и число решений

Определение 1. Приведем матрицу системы к главному ступенчатому виду. Неизвестные, отвечающие главным столбцам, называютсяглавными неизвестными . Остальные неизвестные (если они есть) называютсясвободными неизвестными .

Теорема 2. Если в матрице неоднородной системы (приведенной к главному ступенчатому виду) последний столбец главный, то система несовместна. В противном случае система совместна. Если система совместна и каждая неизвестная главная, то система имеет единственное решение. В противном случае система имеет бесконечно много решений.

Доказательство. Если последний столбец главной ступенчатой матрицы главный, то строка, в которой стоит соответствующий главный элемент имеет вид 0; : : : ; 0; 1. Этой строке отвечает уравнение (преобразованной) системы 0¢ x 1 +¢ ¢ ¢ + 0¢ x n = 1. То-есть система не имеет решений.

Пусть теперь система либо однородна, либо неоднородна, но последний столбец главной ступенчатой матрицы не является главным. Имеется две возможности: либо все неизвестные главные, либо есть свободные неизвестные. В первом случае главный ступенчатый вид матрицы системы таков:

		¢ ¢¢ ¢¢ ¢		b 21					¢ ¢¢ ¢¢ ¢
B .. ... . ...			.. .	.. .			B .. ... . ...
B 0 0							B 0 0

т.е. система имеет единственное решение x 1 =b 1 ,x 2 =b 2 ,...,x n =b n (илиx 1 =¢ ¢ ¢ =x n = 0).

Пусть теперь система имеет свободные неизвестные. Приведем матрицу системы к главному ступенчатому виду B . Рассмотрим систему с матрицейB и перенесем свободные неизвестные в правую часть системы. Тогда система будет иметь следующий вид:

		c 1+ свободные неизвестные
		c 2+ свободные неизвестные
		c r+ свободные неизвестные

Здесь r число ненулевых строк матрицыB ,i 1 ; : : : ; i r номера главных столбцов, аc 1 ; : : : ; c r элементы последнего столбца матрицыB (если система неоднородна).

Теперь, выбрав значения свободных неизвестных, мы найдем и значения главных неизвестных, т.е. построим решение системы. Любое решение системы может быть получено выбором значений свободных неизвестных и каждый выбор таких значений дает решение системы. Так как имеется бесконечное количество способов задать значения свободных неизвестных, то, тем самым, система имеет бесконечное количество решений. Обратите внимание, что доказана совместность неоднородной системы, если последний столбец не главный. ¤

3. Формула общего решения

Итак, либо система не имеет решений, либо система имеет ровно одно решение, либо она имеет их бесконечно много. Как записать решения системы в последнем случае. Есть стандартный способ сделать это.

Сначала мы (используя главную ступенчатую матрицу) выразим главные неизвестные через свободные.

Пример. Матрица:

				x 2+ 2 x 3 3+			X 5 5
Главные неизвестные,	выраженные через свободные:
				x1 = 1 ¡ x3 ¡2 x5
				x2 = 2 ¡2 x3 ¡ x5
				x4 = 3 ¡ x5
				0x .. . 1
				Bx n C

вместо главных неизвестных напишем их выражения через свободные.

Продолжение примера.

0x 2

0 2¡ 2x 3

¡ x5 1

1 ¡ x 3

¡ x5

Bx 4 C

Теперь представим этот столбец в виде суммы столбцов:

0 x 1 1 0 1 1 0 ¡ 2 1 0 3 1 0 ¡ 2 1 B B x 2 C C B B 0 C C B B 1 C C B B 0 C C B B 0 C C B B x 3 C C = B B 0 C C + x 2 B B 0 C C + x 3 B B 1 C C + x 5 B B 0 C C : @ x 4 A @ ¡ 1 A @ 0 A @ 0 A @ 1 A

x 5 0 0 0 1

Продолжение примера.

0x 2 1

0 2¡ 2x 3

¡ x5

0¡ 2 1

0¡ 1 1

1 ¡ x3

¡ x5

Bx 4 C

C B3 C

Это и есть стандартная запись общего решения системы в случае бесконечного числа решений.

Такую форму записи общего решения системы мы будем называть векторной формой . Нетрудно видеть, что векторную форму можно строить прямо по главной ступенчатой матрице.

Алгоритм построения векторной формы. Рассмотрим совместную систему и приведем ее матрицу к главному ступенчатому виду A . Пусть главные столбцы (главные неизвестные) имеют номераi 1 ; : : : ; i r , а свободные неизвестные имеют номераj 1 ; : : : ; j s . И те и другие номера идут в порядке возрастания иr +s =n , гдеn количество неизвестных. В каждом столбце позиции с номерамиi 1 ; i 2 ; : : : мы будем называть главными позициями, а позиции с номерамиj 1 ; j 2 ; : : : свободными позициями. Нулевые строки матрицыA (если они есть) мы удалим.

Столбец неизвестных есть следующая сумма столбцов:

² столбец свободных членов, в котором на свободных позициях стоят нули, а на главных позициях расставлены элементы последнего столбца матрицы A в порядке возрастания номеров (если система однородна, то этот столбец состоит из одних нулей, и мы его исключаем из рассмотрения);

² второе слагаемое это столбец, умноженный на x j 1 , в котором на j 1 -м месте стоит 1, в остальных свободных позициях находятся нули, а в главных позициях размещены элементы j 1 -го столбцаA с обратным знаком в порядке возрастания номеров;

² третье слагаемое это столбец, умноженный на x j 2 , в котором на j 2 -м месте стоит 1, в остальных свободных позициях стоят нули, а в главных позициях размещены элементы j 2 -го столбцаA с обратным знаком в порядке возрастания номеров;

Пример. Пусть матрица неоднородной системы приведена к главному ступенчатому виду

½ x 4

0 ¢ ¢ x 2

0 ¢ ¢ x 3

1 ¢ x5

2 x 2

3 x 3

2 ¢ x5

Здесь x 1 иx 4 главные неизвестные,x 2 ,x 3 иx 5 свободные неизвестные. Главные позиции это первая и четвертая, свободные позиции это вторая третья и пятая. Решение в векторной форме записывается так:

Определение 2. Столбец свободных членов в векторной записи решения системы (в случае неоднородной системы) мы будем называть частным решением. Остальные столбцы мы будем называть базисными столбцами.

Замечание. Частное решение в самом деле является решением системы при нулевых значениях свободных неизвестных. Базисные столбцыне являются решениями неоднородной системы, ноявляются решениями, если система однородна.