Связь импульса и силы. Понятие импульса тела. Закон сохранения импульса

Его движения , т.е. величина .

Импульс — величина векторная, совпадающая по направлению с вектором скорости .

Единица измерения импульса в системе СИ: кг м/с .

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел, входящих в систему:

Закон сохранения импульса

Если на систему взаимодействующих тел действуют дополнительно внешние силы, например, то в этом случае справедливо соотношение, которое иногда называют законом изменения импульса:

Для замкнутой системы (при отсутствии внешних сил) справедлив закон сохранения импульса:

Действием закона сохранения импульса можно объяснить явление отдачи при стрельбе из винтовки или при артиллерийской стрельбе. Также действие закона сохранения импульса лежит в основе принципа работы всех реактивных двигателей.

При решении физических задач законом сохранения импульса пользуются, когда знание всех деталей движения не требуется, а важен результат взаимодействия тел. Такими задачами, к примеру, являются задачи о соударении или столкновении тел. Законом сохранения импульса пользуются при рассмотрении движения тел переменной массы таких, как ракеты-носители. Большую часть массы такой ракеты составляет топливо. На активном участке полета это топливо выгорает, и масса ракеты на этом участке траектории быстро уменьшается. Также закон сохранения импульса необходим в случаях, когда неприменимо понятие . Трудно себе представить ситуацию, когда неподвижное тело приобретает некоторую скорость мгновенно. В обычной практике тела всегда разгоняются и набирают скорость постепенно. Однако при движении электронов и других субатомных частиц изменение их состояния происходит скачком без пребывания в промежуточных состояниях. В таких случаях классическое понятие «ускорения» применять нельзя.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нем. Какую скорость получит вагон, если он двигался со скоростью 36 км/ч в направлении, противоположном движению снаряда?
Решение	Система вагон+снаряд является замкнутой, поэтому в данном случае можно применить закон сохранения импульса. Выполним рисунок, указав состояние тел до и после взаимодействия. При взаимодействии снаряда и вагона имеет место неупругий удар. Закон сохранения импульса в этом случае запишется в виде: Выбирая направление оси совпадающим с направлением движения вагона, запишем проекцию этого уравнения на координатную ось: откуда скорость вагона после попадания в него снаряда: Переводим единицы в систему СИ: т кг. Вычислим:
Ответ	После попадания снаряда вагон будет двигаться со скоростью 5 м/с.

ПРИМЕР 2

Задание	Снаряд массой m=10 кг обладал скоростью v=200 м/с в верхней точке . В этой точке он разорвался на две части. Меньшая часть массой m 1 =3 кг получила скорость v 1 =400 м/с в прежнем направлении под углом к горизонту. С какой скоростью и в каком направлении полетит большая часть снаряда?
Решение	Траектория движения снаряда – парабола. Скорость тела всегда направлена по касательной к траектории. В верхней точке траектории скорость снаряда параллельна оси . Запишем закон сохранения импульса: Перейдем от векторов к скалярным величинам. Для этого возведем обе части векторного равенства в квадрат и воспользуемся формулами для : Учитывая, что , а также что , находим скорость второго осколка: Подставив в полученную формулу численные значения физических величин, вычислим: Направление полета большей части снаряда определим, воспользовавшись : Подставив в формулу численные значения, получим:
Ответ	Большая часть снаряда полетит со скоростью 249 м/с вниз под углом к горизонтальному направлению.

ПРИМЕР 3

Задание

Масса поезда 3000 т. Коэффициент трения 0,02. Какова должна быть паровоза, чтобы поезд набрал скорость 60 км/ч через 2 мин после начала движения.

Решение

Так как на поезд действует (внешняя сила), систему нельзя считать замкнутой, и закон сохранения импульса в данном случае не выполняется. Воспользуемся законом изменения импульса: Так как сила трения всегда направлена в сторону, противоположную движению тела, в проекцию уравнения на ось координат (направление оси совпадает с направлением движения поезда) импульс силы трения войдет со знаком «минус»:

Импульс в физике

В переводе с латинского «импульс» означает «толчок». Эту физическую величину называют также «количеством движения». Она была введена в науку примерно в то же время, когда были открыты законы Ньютона (в конце XVII века).

Разделом физики, изучающим движение и взаимодействие материальных тел, является механика. Импульс в механике – это векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p=mv. Направления векторов импульса и скорости всегда совпадают.

В системе СИ за единицу импульса принимают импульс тела массой 1 кг, которое движется со скоростью 1 м/с. Поэтому единица импульса в СИ – это 1 кг∙м/с.

В расчетных задачах рассматривают проекции векторов скорости и импульса на какую-либо ось и используют уравнения для этих проекций: к примеру, если выбрана ось x, тогда рассматривают проекции v(x) и p(x). По определению импульса, эти величины связаны соотношением: p(x)=mv(x).

В зависимости от того, какая выбрана ось и куда она направлена, проекция вектора импульса на нее может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

Закон сохранения импульса

Импульсы материальных тел при их физическом взаимодействии могут меняться. Например, при столкновении двух шариков, подвешенных на нитях, их импульсы взаимно изменяются: один шарик может прийти в движение из неподвижного состояния или увеличить свою скорость, а другой, наоборот, уменьшить скорость или остановиться. Однако в замкнутой системе, т.е. когда тела взаимодействуют только между собой и не подвергаются воздействию внешних сил, векторная сумма импульсов этих тел остается постоянной при любых их взаимодействиях и движениях. В этом заключается закон сохранения импульса. Математически его можно вывести из законов Ньютона.

Закон сохранения импульса применим также к таким системам, где какие-то внешние силы действуют на тела, но их векторная сумма равна нулю (например, сила тяжести уравновешивается силой упругости поверхности). Условно такую систему тоже можно считать замкнутой.

В математической форме закон сохранения импульса записывается так: p1+p2+…+p(n)=p1’+p2’+…+p(n)’ (импульсы p – векторы). Для системы из двух тел это уравнение выглядит как p1+p2=p1’+p2’, или m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’. К примеру, в рассмотренном случае с шариками суммарный импульс обоих шаров до взаимодействия будет равен суммарному импульсу после взаимодействия.

1. Как вам известно, результат действия силы зависит от ее модуля, точки приложения и направления. Действительно, чем больше сила, действующая на тело, тем большее ускорение оно приобретает. От направления силы зависит и направление ускорения. Так, приложив небольшую силу к ручке, мы легко открываем дверь, если ту же силу приложить около петель, на которых висит дверь, то ее можно и не открыть.

Опыты и наблюдения свидетельствуют о том, что результат действия силы (взаимодействия) зависит не только от модуля силы, но и от времени ее действия. Проделаем опыт. К штативу на нити подвесим груз, к которому снизу привязана еще одна нить (рис. 59). Если за нижнюю нить резко дернуть, то она оборвется, а груз останется висеть на верхней нити. Если же теперь медленно потянуть за нижнюю нить, то оборвется верхняя нить.

Импульсом силы называют векторную физическую величину, равную произведению силы на время ее действия Ft .

Единица импульса силы в СИ - ньютон‑секунда (1 Н с ): [Ft ] = 1 Н с.

Вектор импульса силы совпадает по направлению с вектором силы.

2. Вы также знаете, что результат действия силы зависит от массы тела, на которое эта сила действует. Так, чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает при действии одной и той же силы.

Рассмотрим пример. Представим себе, что на рельсах стоит груженая платформа. С ней сталкивается движущийся с некоторой скоростью вагон. В результате столкновения платформа приобретет ускорение и переместится на некоторое расстояние. Если же движущийся с той же скоростью вагон столкнется с легкой вагонеткой, то она в результате взаимодействия переместится на существенно большее расстояние, чем груженая платформа.

Другой пример. Предположим, что к мишени подлетает пуля со скоростью 2 м/ с. Пуля, вероятнее всего, отскочит от мишени, оставив на ней лишь небольшую вмятину. Если же пуля будет лететь со скоростью 100 м/с, то она пробьет мишень.

Таким образом, результат взаимодействия тел зависит от их массы и скорости движения.

Импульсом тела называют векторную физическую величину, равную произведению массы тела и его скорости.

p = m v .

Единица импульса тела в СИ - килограмм-метр в секунду (1 кг м/с): [p ] = [m ][v ] = 1 кг 1м/ с = 1 кг м/с.

Направление импульса тела совпадает с направлением его скорости.

Импульс - величина относительная, его значение зависит от выбора системы отсчета. Это и понятно, поскольку относительной величиной является скорость.

3. Выясним, как связаны импульс силы и импульс тела.

По второму закону Ньютона:

F = ma .

Подставив в эту формулу выражение для ускорения a = , получим:

F = , или
Ft = mv – mv 0 .

В левой части равенства стоит импульс силы; в правой части равенства - разность конечного и начального импульсов тела,т. е. изменение импульса тела.

Таким образом,

импульс силы равен изменению импульса тела.

Ft = D(m v ).

Это иная формулировка второго закона Ньютона. Именно так сформулировал его Ньютон.

4. Предположим, что сталкиваются два шарика движущиеся по столу. Любые взаимодействующие тела, в данном случае шарики, образуют систему . Между телами системы действуют силы: сила действия F 1 и сила противодействия F 2 . При этом сила действия F 1 по третьему закону Ньютона равна силе противодействия F 2 и направлена противоположно ей: F 1 = –F 2 .

Силы, с которыми тела системы взаимодействуют между собой, называют внутренними силами.

Помимо внутренних сил, на тела системы действуют внешние силы. Так, взаимодействующие шарики притягиваются к Земле, на них действует сила реакции опоры. Эти силы являются в данном случае внешними силами. Во время движения на шарики действуют сила сопротивления воздуха и сила трения. Они тоже являются внешними силами по отношению к системе, которая в данном случае состоит из двух шариков.

Внешними силами называют силы, которые действуют на тела системы со стороны других тел.

Будем рассматривать такую систему тел, на которую не действуют внешние силы.

Замкнутой системой называют систему тел, взаимодействующих между собой и не взаимодействующих с другими телами.

В замкнутой системе действуют только внутренние силы.

5. Рассмотрим взаимодействие двух тел, составляющих замкнутую систему. Масса первого тела m 1 , его скорость до взаимодействия v 01 , после взаимодействия v 1 . Масса второго тела m 2 , его скорость до взаимодействия v 02 , после взаимодействия v 2 .

Силы, с которыми взаимодействуют тела, по третьему закону:F 1 = –F 2 . Время действия сил одно и то же, поэтому

F 1 t = –F 2 t .

Для каждого тела запишем второй закон Ньютона:

F 1 t = m 1 v 1 – m 1 v 01 , F 2 t = m 2 v 2 – m 2 v 02 .

Поскольку левые части равенств равны, то равны и их правые части, т. е.

m 1 v 1 – m 1 v 01 = –(m 2 v 2 – m 2 v 02).

Преобразовав это равенство, получим:

m 1 v 01 + m 1 v 02 = m 2 v 1 + m 2 v 2 .

В левой части равенства стоит сумма импульсов тел до взаимодействия, в правой - сумма импульсов тел после взаимодействия. Как видно из этого равенства, импульс каждого тела при взаимодействии изменился, а сумма импульсов осталась неизменной.

Геометрическая сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы.

В этом состоит закон сохранения импульса .

6. Замкнутая система тел - это модель реальной системы. В природе нет таких систем, на которые не действовали бы внешние силы. Однако в ряде случаев системы взаимодействующих тел можно рассматривать как замкнутые. Это возможно в следующих случаях: внутренние силы много больше внешних сил, время взаимодействия мало, внешние силы компенсируют друг друга. Кроме того, может быть равна нулю проекция внешних сил на какое‑либо направление и тогда закон сохранения импульса выполняется для проекций импульсов взаимодействующих тел на это направление.

7. Пример решения задачи

Две железнодорожные платформы движутся навстречу друг другу со скоростями 0,3 и 0,2 м/с. Массы платформ соответственно равны 16 и 48 т. С какой скоростью и в каком направлении будут двигаться платформы после автосцепки?

Дано :	СИ	Решение
v 01 = 0,3 м/с v 02 = 0,2 м/с m 1 = 16 т m 2 = 48 т v 1 = v 2 = v	v 02 = v 02 = 1,6104кг 4,8104кг	Изобразим на рисунке направление движения платформ до и после взаимодействия (рис. 60). Силы тяжести, действующие на платформы, и силы реакции опоры коммпенсируют друг друга. Систему из двух платформ можно считать замкнутой
vx ?

и применить к ней закон сохранения импульса.

m 1 v 01 + m 2 v 02 = (m 1 + m 2)v .

В проекциях на ось X можно записать:

m 1 v 01x + m 2 v 02x = (m 1 + m 2)v x .

Так как v 01x = v 01 ; v 02x = –v 02 ; v x = –v , то m 1 v 01 – m 2 v 02 = –(m 1 + m 2)v.

Откуда v = – .

v = – = 0,75 м/с.

После сцепки платформы будут двигаться в ту сторону, в которую до взаимодействия двигалась платформа с большей массой.

Ответ: v = 0,75 м/с; направлена в сторону движения тележки с большей массой.

Вопросы для самопроверки

1. Что называют импульсом тела?

2. Что называют импульсом силы?

3. Как связаны импульс силы и изменение импульса тела?

4. Какую систему тел называют замкнутой?

5. Сформулируйте закон сохранения импульса.

6. Каковы границы применимости закона сохранения импульса?

Задание 17

1. Чему равен импульс тела массой 5 кг, движущегося со скоростью 20 м/с?

2. Определите изменение импульса тела массой 3 кг за 5 с под действием силы 20 Н.

3. Определите импульс автомобиля массой 1,5 т, движущегося со скоростью 20 м/с в системе отсчета, связанной: а) с неподвижным относительно Земли автомобилем; б) с автомобилем, движущимся в ту же сторону с такой же скоростью; в) с автомобилем, движущимся с такой же скоростью, но в противоположную сторону.

4. Мальчик массой 50 кг спрыгнул с неподвижной лодки массой 100 кг, расположенной в воде около берега. С какой скоростью отъехала лодка от берега, если скорость мальчика направлена горизонтально и равна 1 м/с?

5. Снаряд массой 5 кг, летевший горизонтально, разрывался на два осколка. Какова скорость снаряда, если осколок массой 2 кг при разрыве приобрел скорость 50 м/с, а второй массой 3 кг - 40 м/с? Скорости осколков направлены горизонтально.

Задачи с движущимися телами в физике, когда скорость много меньше световой, решаются с помощью законов ньютоновской, или классической механики. В ней одним из важных понятий является импульс. Основные в физике приводятся в данной статье.

Импульс или количество движения?

Прежде чем приводить формулы импульса тела в физике, познакомимся с этим понятием. Впервые величину под названием impeto (импульс) использовал в описании своих трудов Галилей в начале XVII века. Впоследствии Исаак Ньютон для нее употребил другое название - motus (движение). Поскольку фигура Ньютона оказала большее влияние на развитие классической физики, чем личность Галилея, изначально принято говорить не об импульсе тела, а о количестве движения.

Под количеством движения понимают произведение скорости перемещения тела на инерционный коэффициент, то есть на массу. Соответствующая формула имеет вид:

Здесь p¯ - вектор, направление которого совпадает с v¯, но модуль в m раз больше, чем модуль v¯.

Изменение величины p¯

Понятие о количестве движения в настоящее время используют реже, чем об импульсе. И связан этот факт непосредственно с законами ньютоновской механики. Запишем его в форме, которая приводится в школьных учебниках по физике:

Заменим ускорение a¯ на соответствующее выражение с производной скорости, получим:

Перенося dt из знаменателя правой части равенства в числитель левой, получаем:

Мы получили интересный результат: помимо того, что действующая сила F¯ приводит к ускорению тела (см. первую формулу этого пункта), она также изменяет количество его движения. Произведение силы на время, которое стоит в левой части, называется импульсом силы. Он оказывается равным изменению величины p¯. Поэтому последнее выражение называют также формулой импульса в физике.

Заметим, что dp¯ - это тоже но направлена она в отличие от p¯ не как скорость v¯, а как сила F¯.

Ярким примером изменения вектора количества движения (импульса) является ситуация, когда футболист бьет по мячу. До удара мяч двигался к футболисту, после удара - от него.

Закон сохранения импульса

Формулы в физике, которые описывают сохранение величины p¯, могут быть приведены в нескольких вариантах. Прежде чем их записывать, ответим на вопрос о том, когда сохраняется импульс.

Обратимся к выражению из предыдущего пункта:

Оно говорит о том, что если сумма внешних сил, оказывающих воздействие на систему, равна нулю (закрытая система, F¯= 0), тогда dp¯= 0, то есть никакого изменения количества движения не будет происходить:

Это выражение является общим для импульса тела и закона сохранения импульса в физике. Отметим два важных момента, о которых следует знать, чтобы с успехом применять это выражение на практике:

• Импульс сохраняется вдоль каждой координаты, то есть если до некоторого события значение p x системы составляло 2 кг*м/c, то после этого события оно будет таким же.
• Импульс сохраняется независимо от характера столкновений твердых тел в системе. Известно два идеальных случая таких столкновений: абсолютно упругий и абсолютно пластичный удары. В первом случае сохраняется также кинетическая энергия, во втором часть ее расходуется на пластическую деформацию тел, однако импульс сохраняется все равно.

Упругое и неупругое взаимодействие двух тел

Частным случаем использования формулы импульса в физике и его сохранения является движение двух тел, которые сталкиваются друг с другом. Рассмотрим два принципиально разных случая, о которых упоминалось в пункте выше.

Если удар будет абсолютно упругим, то есть передача импульса от одного тела к другому осуществляется посредством упругой деформации, тогда формула сохранения p запишется так:

m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = m 1 *u 1 + m 2 *u 2

Здесь важно помнить, что знак скорости должен подставляться с учетом ее направления вдоль рассматриваемой оси (противоположные скорости имеют разные знаки). Эта формула показывает, что при условии известного начального состояния системы (величины m 1 , v 1 , m 2 , v 2) в конечном состоянии (после столкновения) имеется две неизвестных (u 1 , u 2). Найти их можно, если воспользоваться соответствующим законом сохранения кинетической энергии:

m 1 *v 1 2 + m 2 *v 2 2 = m 1 *u 1 2 + m 2 *u 2 2

Если удар абсолютно неупругий или пластический, то после столкновения два тела начинают двигаться как единое целое. В этом случае имеет место выражение:

m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = (m 1 + m 2)*u

Как видно, речь идет всего об одной неизвестной (u), поэтому для ее определения достаточно этого одного равенства.

Импульс тела во время движения по окружности

Все, что было сказано выше об импульсе, относится к линейным перемещениям тел. Как быть в случае вращения объектов вокруг оси? Для этого в физике введено другое понятие, которое аналогично линейному импульсу. Оно называется моментом импульса. Формула в физике для него принимает следующий вид:

Здесь r¯ - вектор, равный расстоянию от оси вращения до частицы с импульсом p¯, совершающей круговые движения вокруг этой оси. Величина L¯ - это тоже вектор, но рассчитать его несколько сложнее, чем p¯, поскольку речь идет о векторном произведении.

Закон сохранения L¯

Формула для L¯, которая приведена выше, является определением этой величины. На практике же предпочитают использовать несколько иное выражение. Не будем вдаваться в подробности его получения (это несложно, и каждый может проделать это самостоятельно), а приведем его сразу:

Здесь I - это момент инерции (для материальной точки он равен m*r 2), который описывает инерционные свойства вращающегося объекта, ω¯ - скорость угловая. Как можно заметить, это уравнение аналогично по форме записи такового для линейного импульса p¯.

Если на вращающую систему не действуют никакие внешние силы (в действительности момент сил), то произведение I на ω¯ будет сохраняться независимо от процессов, происходящих внутри системы. То есть закон сохранения для L¯ имеет вид:

Примером его проявления является выступление спортсменов в фигурном катании, когда они совершают вращения на льду.

Импульс... Понятие, довольно часто используемое в физике. Что понимают под этим термином? Если задать этот вопрос простому обывателю, в большинстве случаев мы получим ответ, что импульс тела - это определенное воздействие (толчок или удар), оказываемое на тело, благодаря чему оно получает возможность двигаться в заданном направлении. В целом довольно верное объяснение.

Импульс тела - определение, с которым мы впервые сталкиваемся в школе: на уроке физики нам показывали, как по наклонной поверхности скатывалась небольшая тележка и сталкивала со стола металлический шарик. Именно тогда мы рассуждали, что может оказать влияние на силу и длительность этого Из подобных наблюдений и умозаключений много лет назад и родилось понятие импульса тела как характеристики движения, напрямую зависящей от скорости и массы объекта.

Сам термин в науку ввел француз Рене Декарт. Произошло это в начале XVII века. Ученый объяснял импульс тела не иначе как «количество движения». Как говорил сам Декарт, если одно движущееся тело сталкивается с другим, оно теряет столько своей энергии, сколько отдает другому объекту. Потенциал тела, по мнению физика, никуда не исчезал, а лишь передавался от одного предмета другому.

Основной характеристикой, которой обладает импульс тела, является его направленность. Иначе говоря, он представляет собой Отсюда следует и такое утверждение, что всякое тело, находящееся в движении, обладает определенным импульсом.

Формула воздействия одного объекта на другой: p = mv, где v - скорость тела (векторная величина), m - масса тела.

Однако импульс тела - не единственная величина, определяющая движение. Почему одни тела, в отличие от других, не теряют его продолжительное время?

Ответом на этот вопрос стало появление еще одного понятия - импульса силы, который определяет величину и продолжительность воздействия на предмет. Именно он позволяет нам определять, как изменяется импульс тела за определенный промежуток времени. Импульс силы представляет собой произведение величины воздействия (собственно силы) на продолжительность его приложения (время).

Одним из наиболее примечательных особенностей ИТ является его сохранение в неизменном виде при условии замкнутой системы. Иначе говоря, при отсутствии иных воздействий на два предмета, импульс тела между ними будет оставаться стабильным сколько угодно долго. Принцип сохранения можно учитывать и в ситуации, когда внешнее воздействие на объект присутствует, но его векторное воздействие равно 0. Также импульс не изменится и в том случае, когда воздействие этих сил незначительно или действует на тело весьма непродолжительный период времени (как, например, при выстреле).

Именно этот закон сохранения не одну сотню лет не дает покоя изобретателям, ломающим голову над созданием пресловутого «вечного двигателя», так как именно он лежит в основе такого понятия, как

Что касается применения знаний о таком явлении, как импульс тела, то их используют при разработке ракет, вооружения и новых, пусть и не вечных, механизмов.