Немецкий математик и астроном-теоретикАвгуст Фердинанд Мёбиус (1790-1868) - ученик великого Гаусса, известный геометр, профессор Лейпцигского университета, директор обсерватории. Долгие годы преподавания, долгие годы работы – обычная жизнь профессора.

Существуют две легенды открытия односторонней поверхности.

Как же называют ленту Мебиуса (иначе лист Мебиуса или петлю Мебиуса) математики?

На языке математики – это топологический объект, простейшая односторонняя поверхностьс краем в обычном трёхмерном Евклидовом пространстве, где можно попасть из одной точки этой поверхности в любую другую, не пересекая края.

Достаточно сложное определение!

Поэтому удобнее просто рассмотреть ленту Мебиуса поближе. Берем бумажную полоску, перекручиваем полоску в пол-оборота поперек (на 180 градусов) и склеиваем концы.

В другой раз "мама бы по головке за такую работу не погладила"! Но, на этот раз вы правы! Она должна быть перекрученным кольцом.

Ставим в каком-нибудь месте на полоске точку фломастером. А теперь прочерчиваем вдоль всей нашей ленты линию, пока вам не встретится вновь ваша точка. Вам нигде не пришлось переходить через край – это и называется односторонней поверхностью.

Посмотрите, как интересно проходит прочерченная вами линия: она то внутри кольца, то снаружи! А теперь измерьте длину этой линии - от точки до точки.
Удивляетесь?
Она оказывается в два раза длиннее первоначальной полоски бумаги!

Так и должно быть, ведь у вас в руках лента Мебиуса! А у ленты Мебиуса есть только одна сторона, и мы опять скажем – это односторонняя поверхность с краем.

1. Разрежьте ленту Мебиуса вкруговую по центральной линии. Не бойтесь, она не развалится на две части! Лента развернется в длинную замкнутую ленту, закрученную вдвое больше, чем первоначальная. Почему лента Мебиуса при таком разрезе не распадается на отдельные части?
Разрез не касался края ленты, поэтому после разреза край (а значит и вся полоска бумаги) останется целым куском.

2. Полученную после первого опыта ленту Мебиуса (закрученную вдвое больше, чем первоначальная, т.е. на 360 градусов) вновь разрежьте по ее центральной линии.

3. Сделайте новую ленту Мебиуса, но перед склейкой поверните ее не один раз, а три раза (не на 180 градусов, а на 540). Затем разрежьте ее вдоль центральной линии.

Методы исследования: анализ литературы по данной теме; сравнение; обобщение; моделирование (метод моделирования позволил мне получить информацию о различных свойствах изучаемого объекта на основе опытов с его материальными моделями).

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса, немецкий геометр Лейпцигского университета. Первоначально Мёбиус был астрономом. Он ввел аналитические методы исследования, установил понятие проективного преобразования и существование односторонних поверхностей. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

Как -то раз в доме на пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Лист Мёбиуса - это топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Сама топология началась именно с листа Мёбиуса.

Топология (от греч. το?πος — место) — часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов. Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Изготовление ленты Мёбиуса.

Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой D. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо, которое получило особое название - "Лента Мёбиуса".

Опыты с лентой Мёбиуса

1 опыт.

Результат: линия проходит непрерывно по двум сторонам, заканчиваясь в начальной поставленной точке.

2 опыт.

Результат: лист Мёбиуса закрасился полностью, а вот у кольца одна сторона закрашена, а другая - нет.

3 опыт.

Результат: на обычном кольце паук и муха никогда не встретятся, не пересекая края. На листе Мёбиуса паук и муха встретятся не пересекая края в любом случае.

4 опыт:

Результат: получилось два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого. У листа Мёбиуса получилось одно большое кольцо перекрученное в два раза (в виде восьмерки).

5 опыт:

Результат: получилось 2 кольца одно уже, другое шире. В листе Мёбиуса получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое - другое большое.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту, был Морис Корнелис Эшер. Одна из известных - муравьи, ползающие по поверхности Ленты Мёбиуса. (см. Приложение 2)

Просмотр содержимого документа
«КОНКУРС ТВОРЧЕСКИХ РАБОТ ШКОЛЬНИКОВ»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«НОВОЦУРУХАЙТУЙСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

ПРИАРГУНСКОГО РАЙОНА

ЗАБАЙКАЛЬСКОГО КРАЯ

Исследовательская работа на тему:

«Лента Мёбиуса»

Выполнила: ученица 8 «А» класса

МОУ Новоцурухайтуйской СОШ

Симонова Анна Сергеевна

Руководитель: учитель математики

и информатики

Коктышева Юлия Георгиевна

Новоцурухайтуй, 2012 г.

Введение ………………………………………………………………………

История создания листа Мёбиуса…………………………………………

Изучение свойств ленты Мёбиуса…………………………………………

Применение ленты Мёбиуса в нашей жизни…………………………….

Заключение…………………………………………………………………….

Список Литературы………………………………………………………………..

Приложения………………………………………………………………………..

Введение

Актуальность исследования. В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур. Лист Мёбиуса востребован, его применение развивается, и свойства не до конца изучены. Его ценность состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета (см. Приложение 1). Актуальность данной тематики предопределило выбор темы научного исследования.

Цель исследования: исследование поверхности ленты Мебиуса.

Гипотеза: если мыисследуем поверхность ленты Мебиуса, то определим её практическое применение

Объект исследования : лента Мебиуса.

Предмет исследования: свойства ленты Мёбиуса.

Задачи:

познакомиться с историей появления ленты Мебиуса;

выявить и исследовать свойства ленты Мебиуса;

установить области применения ленты Мебиуса.

Методы исследования : анализ литературы по данной теме; сравнение; обобщение; моделирование (метод моделирования позволил мне получить информацию о различных свойствах изучаемого объекта на основе опытов с его материальными моделями).

История создания листа Мёбиуса

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал Август Фердинанд Мёбиус (1790–1868), ученик "короля математиков" Гаусса, немецкий геометр Лейпцигского университета. Первоначально Мёбиус был астрономом. Он ввел аналитические методы исследования, установил понятие проективного преобразования и существование односторонних поверхностей. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.

В 26 лет Мёбиус стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Все как у обычного профессора университета. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили.

Как –то раз в доме на пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса.

Лист Мёбиуса – это топологический объект, простейшая односторонняя поверхность с краем. Сама топология началась именно с листа Мёбиуса.

Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, который почти в тоже время, что и его коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам перекрученную ленту.

Топология (от греч. τόπος - место) - часть геометрии, изучающая в самом общем виде явление непрерывности, а также свойства обобщенных геометрических объектов. Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

Изучение свойств ленты Мёбиуса

Изготовление ленты Мёбиуса. Для изготовления ленты Мёбиуса потребуются бумажные полосы длиной 30 см и шириной 3 см.

Возьмем бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем так, чтобы точка А совпала с точкой C, а точка B с точкой D . Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо, которое получило особое название - "Лента Мёбиуса".

Опыты с лентой Мёбиуса

1 опыт. Поставьте точку на одной стороне ленты и начертите линию вдоль неё.

Результат: линия проходит непрерывно по двум сторонам, заканчиваясь в начальной поставленной точке.

2 опыт. Попробуйте закрасить ленту Мёбиуса, а затем обычное кольцо.

Результат: лист Мёбиуса закрасился полностью, а вот у кольца одна сторона закрашена, а другая – нет.

3 опыт. Изготовим из бумаги паука и муху, и отправим их «гулять» сначала по обычному листу, а затем по листу Мёбиуса при этом не пересекая края кольца и ленты.

Результат: на обычном кольце паук и муха никогда не встретятся, не пересекая края. На листе Мёбиуса паук и муха встретятся не пересекая края в любом случае.

4 опыт: разрежем кольца пополам вдоль. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.)

Результат: получилось два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого. У листа Мёбиуса получилось одно большое кольцо перекрученное в два раза (в виде восьмерки).

5 опыт: разрежем кольцо вдоль, отступив от края 1/3. (Чтобы проверить, какая поверхность получилась необходимо снова прочертить непрерывную линию.). Точно также разрежем и лист Мёбиуса.

Результат: получилось 2 кольца одно уже, другое шире. В листе Мёбиуса получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое – другое большое.

На основе проведенных опытов можно сделать вывод:

Лента Мёбиуса имеет только один край.

Имеет только одну поверхность.

Объекты по поверхности ленты будут двигаться бесконечно

Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают.

Применение ленты Мёбиуса в нашей жизни

Лента Мёбиуса получила своё применение во многих областях нашей жизни.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту, был Морис Корнелис Эшер. Одна из известных – муравьи, ползающие по поверхности Ленты Мёбиуса. (см. Приложение 2)

Кроме того, Лист Мёбиуса встречается и в картинах других художников. (см. Приложение 3)

Встречается он и в архитектуре. (см. Приложение 4) Так, например проектирование национальной библиотеки в Астане по названием «Юрта Мёбиуса».

Их дизайн основан на сочетании четырех форм: кольца, ротонды, арки и юрты, при этом объединенных по принципу ленты Мёбиуса.

Так же есть парковая скамья, повторяющая очертания ленты Мебиуса, ротонда для любования пейзажем посреди поля и дом-гнездо на воде вошли в шорт-лист общероссийской премии в области деревянной архитектуры АРХИWOOD.

Поразил нас и Поп-арт, разработанный для вьетнамского города Хошимин. Со стороны, кажется, что этот многофункциональный комплекс похож на американские горки. Хотя основой для внешнего вида Everrich стали вовсе не американские горки, а лента Мебиуса.

Общая площадь этого многофункционального комплекса составит почти 632 тысячи квадратных метров, 37 этажей. На них расположатся 3 100 жилых квартир, офисные и гостиничные помещения, торговые залы и развлекательный центр.

Использование двойной Ленты Мебиуса можно увидеть в организации структуры выставочного автомобильного комплекса «Мерседес - Бенц».

Лентой Мёбиуса восхищались и поэты. Мы нашли несколько стихотворений, посвященные этому замечательному объекту.

Наталья Юрьевна Иванова

Лист Мёбиуса

Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:……

……………………………………..
Лист Мёбиуса. (Дмитрий Худолей)

Двенадцать фраз, всего шесть строф,
С десяток рифм, полсотни слов.
Здесь нет начала, нет конца,
И нет изнанки, нет лица…………

Романтическое описание листа Мебиуса встречается в повести Э.Успенского «Красная рука, черная простыня, зеленые пальцы»
«…Но больше всего поразил Рахманина какой-то странный то ли знак, то ли вензель, то ли орден очень и очень аккуратной работы. Никогда раньше он не видел ничего похожего. Это изделие напоминало или старинный герб иностранного дворянского рода, или герб страховой компании, торгующей научными приборами, потому что основу его составлял лист Мебиуса.
Эта вещь очень понравилась Рахманину… В знаке совершенно четко проступал какой-то смысл, были заложены определенные пропорции и связи.»

Удивительно и применение ленты Мёбиуса в науки и технике. В 1923г изобретатель. Ли де Форес предложил записывать звук на киноленту без смены катушек. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и соединяется в кольцо, при этом появляется возможность записывать и считывать информацию с двух сторон, что увеличивает емкость кассеты. Так же полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.В матричных принтерах красящая лента также имела вид лист Мёбиуса это для увеличения срока годности. (см. Приложение 5)

Вдохновляет лист Мёбиуса и дизайнеров. Примером является кресла Мёбиуса: этот диван повторяет секрет одноименной ленты, который в данном дизайнерском решении используется в качестве создания специальной атмосферы романтичности. (см. Приложение6)
Лист Мёбиуса используют в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. (см. Приложение 7)

Заключение

Таким образом, лента Мёбиуса – первая односторонняя поверхность, которая положила начало новому направлению в геометрии – топологии.

В ходе своего исследования я изучила большое количество литературы. В различных источниках сети Интернет мне встречались работы других учащихся, я проводила сравнение и анализировала прочитанное.

Так же, в своем исследовании я познакомилась с историей создания ленты Мебиуса. Мною было проведено ряд опытов с лентой Мёбиуса, результаты которой меня очень заинтересовали. В связи с этим мне захотелось посмотреть где же используют ленту Мёбиуса. Оказалось, что лента Мёбиуса применяется практически во всех областях нашей жизни.

Работа над темой мне очень понравилось. Для себя я получила много полезной и интересной информации о листе Мёбиуса.

Список литературы

Большая советская энциклопедия. Том 15. Москва.: третье издание, 1974 г.

Смирнова И. М. , Смирнов В. А. Учебник геометрии 7-9 классы. Москва.: Мнемозина, 2009 г.

Журнал «Квант», 1978, №6

Интернет сайты:

http://www.coolreferat.com

http://www.websib.ru

http://www.genon.ru/

http://nsportal.ru

http://zalivino.net/

http://barabinsk.ucoz.ru

http://mou-kislov.narod.ru/

regconf.vstu.edu.ru›

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Александр Пославский

Артемий Бабий

Это небольшой очерк о малоизвестных сюрпризах, которые встречаются при изучении геометрии ленты Мёбиуса.

В литературе встречается несколько названий: проективная плоскость, односторонняя поверхность, лента Мёбиуса, петля Мёбиуса, кольцо Мёбиуса. По укоренившейся у меня привычке в дальнейшем я буду называть предмет нашего изучения кольцом Мёбиуса.

Коротко об общеизвестных сюрпризах кольца Мёбиуса . Это необходимо для понимания того, о чем будет рассказано далее.

• Если разрезать кольцо Мёбиуса вдоль по средней линии, то в итоге получится кольцо с двойным полуоборотом. Такое кольцо называют *Афганской лентой* и оно является уже двусхторонней поверхностью с двумя краями (кромками).
• Если разрезать кольцо Мёбиуса вдоль края, отступив на 1/3 его ширины, то в итоге получатся два кольца разных размеров: меньшее - кольцо Мёбиуса ( односторонняя поверхность) и большее - *Афганская лента * (двусторонняя поверхность). Эти кольца сцеплены друг с другом.

А сейчас о новых сюрпризах. Они малоизвестны для широкой публики. А самые любознательные читатели могут повторить нижеописанные опыты. Автор очерка не являеется профессиональным математиком-топологом, всё придумал самостоятельно, без посторонней помощи. Поэтому результаты опытов и идеи, высказанные в этом очерке, предлагаются для обсуждения с его автором.

Сюрприз №1

Сначала я попробовал склеить кольцо Мёбиуса не из одной, а из двух полосок бумаги, предварительно уложив их в стопку (Фото 1). Получилось нечто похожее на настоящее кольцо Мёбиуса (Фото2):

Почему “нечто похожее”? Потому что, когда я растянул это кольцо, оказалось, что в результате склейки получилась “” (Фото 3).

И в чем тут сюрприз? А в том, что при растягивании исходного кольца, не нарушалась его целостность. Это значит, что “ достаточно просто складывается в обратном порядке в исходное кольцо (псевдокольцо) Мёбиуса (Фото 4).

Сейчас время вспомнить, что “афганская лента” получается при разрезании настоящего кольца Мёбиуса по средней линии. Так вот, полученная при разрезании, так же просто складывается в псевдокольцо Мёбиуса . Т.е., разрезав кольцо Мёбиуса (далее - кМ ) по средней линии и получив “афганскую ленту” (“ а.л.” ) , можно уже полученную “ а.л.” собрать в псевдокольцо Мёбиуса (далее - ПкМ ). Вы можете просто склеить “а.л.” и сложить ее в ПкМ . Проверено на практике.

Сюрприз №2

Этот сюрприз является продолжением сюрприза 1 . Я склеил уже три бумажные полоски по форме кМ , предварительно уложив их в стопку (Фото 5 и 6).

Получился некий “бутерброд” в форме кМ (Фото 7) . Если растянуть этот “бутерброд” , то он разложится на два кольца: меньшее - это кМ и большее - это “а.л.” , сцепленные друг с другом (Фото 8).

Но такой же результат получается при разрезании кМ по 1 / 3 его ширины! Как и в первом случае, эти два кольца возможно собрать в первоначальное состояние “бутерброда” . Сначала “а.л.” укладывается в ПкМ (Фото 9) , а затем кМ помещается в середину ПкМ (Фото 10). Проверено на практике.

Удивительно, но, разрезав уже “бутерброд” по 1 / 3 ширины, можно собрать новый, более сложный “бутерброд” . Теоретически такое деление “бутербродов” и их собирание можно продолжать... ну очень много раз. В итоге получится многослойный “бутерброд” , состоящий из многих слоёв “афганских лент” и одного кольца Мёбиус а , расположенного в середине “бутерброда” .

Для более образного представления многослойного (бутербродного) строения псевдокольца Мёбиуса предлагаю два рисунка из серии “математики шутят”:

На примере “бутерброда” (Фото 7,10) можно легко и зримо понять ещё одно свойство односторонней поверхности (проективной плоскости): нельзя создать две , параллельные друг к другу, однносторонние поверхности (во всяком случае в нашем трёхмерном, эвклидовом, пространстве). Одна из них обязательно получится двухсторонней.

Здесь я сделаю небольшое отступление. В Интернете я встретил описание эксперимента с кольцом Мёбиуса . Выглядел он так: на полимерную плёнку в форме кМ наносился металлический слой. Над полученным образцом проводились различные действия, считая что проводятся опыты над кМ . Строго говоря, опыты проводились над вышеописанным “бутербродом” , где рабочий металлический слой являлся “афганской лентой” , а кольцом Мёбиуса была несущая полимерная плёнка.

Возвращаясь к теме, хочу заметить, что я тоже хотел поэкспериментировать с кМ . Но меня не устраивала несовершенная форма кМ , полученная из прямоугольных полосок. Эта “прямоугольная” конструкция имеет, как минимум, три зоны деформации, которые четко проявляются при уплощении кМ . Поэтому я посчитал, что кМ , собранные на основе S-образных полосок, более технологичны в работе(Фото 11 и 12).

Чтобы получить кМ изS- образной полоски достаточно состыковать концы полоски и склеить их. Причем, в зависимости от того в какую сторону вы будете перегибать полоску, будет получаться лево- или правозакрученный вариант кМ . Так же просто получается и вышеописанный “бутерброд” : делается стопка из 3 -хS -образных полосок, сводятся их концы и поочередно склеиваются.

Опыты с разрезанием кольца Мёбиуса и собиранием “бутербродов” с этим вариантом более наглядны и сборка получается очень легко.

“Бутерброд” , полученный из трех полосок может послужить моделью для создания конденсатора в форме кМ . Только надо понимать, что в начале необходимо создать кМ из металлической фольги (внутренняя пластина-электрод), а уже на него наносить слои диэлектрика и металлической плёнки (внешняя пластина-электрод). Хотя здесь возможны варианты не с кМ , а с ПкМ и это потребует несколько иного подхода.

Я не знаю, будет ли такая конструкция конденсатора иметь преимущества перед традиционной, но считаю, что она будет интересна для тех, кто занимается торсионными полями. Почему? Это уже тема для дискуссии с автором очерка.

Сюрприз №3

Продолжим. Несмотря на полученный результат, у меня осталась неудовлетворенность несовершенством формы полученного таким способом кМ . Размышляя над этой проблемой, я вспомнил, что кМ относится к торовым поверхностям. Так как у меня с пространственным воображением напряг и мне необходимо всё увидеть глазами и потрогать руками, то я взял кольцо Мёбиуса и оклеил его бумажными кольцами. Получилась вот такая конструкция (Фото 13).

И где здесь обещанный сюрприз? Рассматривая полученный “тор” , я открыл (заостряю - для себя; возможно всё выше- и нижеописанное давно известно читателям этого опуса), что кольцо Мёбиуса не делит внутренний объём тора на две изолированные друг от друга полости. Другими словами: из любой точки, находящейся внутри тора со встроенным в него кМ , можно попасть в любую другую точку внутри, не пересекая плоскость кМ и поверхность тора.

Для наглядности представим себе тор в виде спасательного резинового круга внутри которого находится перегородка в виде кМ . Давление воздуха внутри круга с перегородкой в форме кМ будет распределятся равномерно по всему объёму независимо от того, где будет располагаться ниппель. Кстати, фото 13 очень наглядно моделирует форму магнитного поля вокруг продольной катушки Мёбиуса .

Теоретически принцип построения идеального торового кольца Мёби уса достаточно прост, но практическое исполнение модели торового кМ сопряжено с определёнными техническими трудностями.

Для практического изготовления торовых кМ более всего подходит распечатка на 3-D принтере.

Итак, сюрпризы продолжаются

Сейчас наступило время поговорить о таком замечательном геометрическом теле как ТОР.

Как образуется открытый ТОР ? Правильно, открытый ТОР образуется при вращении торообразующей окружности вокруг оси, находящейся вне этой окружности и имеет вот такой вид (Фото14).

Еще различают пиковый ТОР . Это когда большая ось вращения является касательной к торообразующей окружности. По-простому - бублик без дырки. А также закрытый (осевой) ТОР , когда ось вращения пересекает торообразующую окружность. Хороший пример - округлое яблоко.

Для того, чтобы получить кМ в ТОР е, обозначим в торообразующем круге диаметр (два радиус-вектора). А сейчас заставим торообразующий круг вращаться не только вокруг внешней оси, а одновременно и вокруг внутренней оси ТОР а. За полный оборот вокруг внешней оси круг должен одновременно повернуться на полоборота вокруг внутренней оси. Тогда диаметр (два радиус-вектора) опишет плоскость в виде кМ (Фото 15) .

Но это кМ получено в воображаемом опыте. А как же получить его в реале, не имея в наличии 3-D принтер? Вы можете придумать свой способ, отличный от моего. Я же поступил следующим образом. На поверхности открытого ТОР а (из детской пирамидки) нарисовал траекторию движения радиус-векторов (Фото 16) . Затем взял латунную проволоку, аккуратно обогнул её вокруг ТОР а по этой траектории и получил две половинки края (кромки) торового кМ (Фото 17).

Затем соединил их с помощью двух трубочек, а пространство между ветками полученной петли заполнил отрезками изоленты (Фото 18 и 19).

Кольцо Мёбиуса в ТОР е можно получить и с помощью одного радиус-вектора. При этом он должен одновременно сделать два оборота вокруг внешней оси и полный оборот вокруг внутренней оси. И здесь становятся понятными две вещи: первое - кМ имеет ось симметрии (или среднюю линию) и второе - почему, если разрезать кМ по средней линии, получается кольцо с двойным полуоборотом (*Афг aнская лента* ). Просто представьте себе, что нарисует единичный радиус-вектор при первом обороте вокруг внешней оси, и что при втором.

Внимательный читатель, склеивая кМ и затем разрезая его по средней линии, мог заметить что при этом ножницы совершают один оборот. Если же резать кМ по 1 / 3 ширины, то ножницы совершают уже два оборота.

КМ сохраняет свойства односторонней поверхности и при большем количестве полуоборотов. Главное условие - количество полуоборотов должно быть нечетным.

Такой лист Мёбиуса или кольцо Мёбиуса , как кому нравится, я назвал двухвекторным. Зачем? А затем, что такое кольцо строится двумя радиус-векторами. Ну и что? А то, что...

Сюрприз №4

В торе можна создавать трёх-, четырёх-, ...,N -векторные кольца Мёбиуса . Взгляните на Фото 20. Оно иллюстрирует принцип создания трехвекторного кольца Мёбиуса.

В торообразующей окружности показаны три радиус-вектора - А, В, С . Вращая эту окружность вокруг внешней оси и одновременно закручивая её вокруг внутренней так, чтобы при завершении оборота вектор А состыковался с вектором В (соотвтственно вектор В к С , а С к А ), радиус-векторы опишут (создадут) одностороннюю поверхность в виде трехвекторного (трёхлепесткового) кольца Мёбиуса .

Это универсальный метод получения N-векторных односторонних поверхностей и они будут обладать всеми свойствами обычного кМ.

При таком подходе к построению торовых кМ особое значение приобретает средняя линия (по другому - линия сопряжения). В этом случае линия сопряжения совпадает с внутренней осью тора. Если, к примеру, 3-хвекторный кМ расшить по линии сопряжения, то мы получим вариант “афганской ленты” в тройной петле:

Трёхвекторное кМ , созданное по даной схеме, можно обозначить в виде дроби 1 / 3 , где в знаменателе указывается число векторов, а сама дробь указывает на какой угол закручиваестся каждый вектор при полном обороте.

Я назвал эту дробь индексом км . Например, если я буду говорить о кМ с индексом км = 1 / 4, то это означает, что речь идёт о четырёхвекторном кМ с закрутом в 1 / 4 оборота (умножив на 360 0 , получим результат в градусах) или в 90 0 . Индекс км ,выраженный в градусах - это базовый угол закрута. При этом надо помнить, что индекс км не может принимать значение целого числа .

Приняв во внимание, что кМ может закручиваться по левому или правому винту, я обозначил левый винт знаком ”-“ , а правый винт - знаком “+” . Тогда полная запись индекса км будет выглядеть на примере так: индекс км = + 1 / 4 . Значит речь будет идти о четырехвекторном кМ с закрутом в 1 / 4 оборота(базовый угол закрута - 90 0 ) и правым винтом.

Индекс км становится очень информативным показателем, помогающим достаточно быстро разобраться в огромном семействе многовекторных кМ и их различных сочетаниях.

Я не ставил перед собой задачу описывать и систематизировать всё многообразие семейства торовых кМ и их взаимосочетаний. Остановлюсь только на нескольких осбенностях, которые необходимо учитывать при конструировании девайсов с геометрией кМ .

1. Если индекс км имеет общее кратное для числителя и знаменателя, то при моделировании получается система из нескольких взаимопересекающихся кМ (от 2-х и более). Рассмотрим примеры 6 -тивекторного построения.

Индекс км =+ 2 / 6 , где общее кратное для данной дроби равно 2 . Это означает, что при моделировании получится система из 2-х трехвекторных кМ с базовым углом закрута в 120 0 :

Индекс км =+ 3 / 6 , где общее кратное равно 3 . При моделировании получается система из 3-х двухвекторных кМ с базовым углом в 180 0 :

2. Если индекс км имеет вид 1 / 4 , 1 / 6 , 1 / 8 … 1 / 2 N или 3 / 4 , 5 / 4 , 5 / 6 , 7 / 6 … 2 N±1 / 2N (где N - любое натуральное число, начиная с числа 2 ), то при моделировании получается самопересекающееся кольцо Мёбиуса - от однократного самопересечения до многократного. При этом односторонность такого кМ сохраняется в любом случае. Приведу несколько примеров, подтверждающих данное утверждение:

Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку. Лента Мебиуса относится к ним в полной мере. Современная математика замечательно описывает при помощи формул все ее свойства и особенности.

А вот обычные люди, слабо разбирающиеся в топонимике и других геометрических премудростях, практически ежедневно сталкиваются с предметами, изготовленными по ее образу и подобию, даже не подозревая об этом.Что это такое?Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, - это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.Кто и когда ее открыл?

Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно.

Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно - в 1858 году.

Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика — Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны.

Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».СвойстваЛенте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю - другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.

2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.

3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер -6, а вот кольцо из бумаги - 5.

Научное использование

Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.

Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная — это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти - замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.

По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение — это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.

Реализация на практикеВ различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 1800 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.

На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.

Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.

Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них — это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

Источник творческого вдохновенияЛента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности — Мауриц Корнелис Эшер.

Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.Литература и топологияНеобычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли.

Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».

Делаем сами, своими руками!

Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:1. Для изготовления ее модели потребуются:

Лист обычной бумаги;

Ножницы;

Линейка.

2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.

3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 1800 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.

4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.

Лента Мебиуса готова.

5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.

Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса — односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью .

Источник econet.ru

Давайте поэкспериментируем: вырежем из бумаги полоску, склеим концы ленты, но не так, как обычно, а с поворотом на 180 градусов. У нас получилась лента Мёбиуса.

Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один её конец на пол-оборота (то есть на 180 градусов), а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли ради научного интереса - теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что именно так и появилась ещё в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса.

Свойства ленты Мёбиуса

Чем же она знаменита? А тем, что поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернётесь в то место, откуда начали. А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы её не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя . Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.

Поработаем ножницами ещё раз: проткнём эту ленту и аккуратно разрежем её вдоль - точно посередине. «Ну вот, - подумаете вы, - сейчас получатся два отдельных кольца…».

Но что это? Вместо двух колец, получается одно! Причём оно больше и тоньше первоначального, и перекручено дважды. «Такого не бывает», - скажете вы. Бывает.

Как Вы думаете, что станет с этой фигурой, если её снова разрезать? Может быть, снова выйдет одна целая, но перекрученная полоска бумаги? Нет. На этот раз получатся уже два сцепленных кольца.

Вот такие интересные метаморфозы таит в себе лента Мебиуса. Вы можете показать друзьям эти явления, выдавая их за фокусы, тогда как на самом деле вы просто продемонстрируете им математические законы.

Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Такие свойства поверхностей и пространств изучает специальный раздел математики - топология .
Наука эта настолько сложная, что ее в школе не проходят. Только в институтах (и то не во всех!). Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитым топологом и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем!

Лента Мёбиуса в архитектуре

А где в реальной жизни можно увидеть ленту Мёбиуса? Многие архитекторы в своих проектах пытаются использовать загадочную ленту. Так бельгийский архитектор Винсент Каллебо для парка в Тайване разработал новое здание, которое напоминает ленту Мебиуса.

Сооружение имеет форму ласточкиного гнезда и начинается с треугольника, а затем закручивается в эллипс. Внутри строения можно полюбоваться растениями, предметами искусства или просто совершить прогулку.