Хрестоматия по праву до 20 века. Титов Ю.П. Хрестоматия по истории государства и права России - файл n1.doc. Краткая редакция Текст по Академическому списку Перевод б.Б.Кафенгауза
Размер: px
Начинать показ со страницы:
Транскрипт
1 К оглавлению И.Н. Бекман СИНЕРГЕТИКА Лекция 2. Динамические системы Содержание 2.1 Порядок и хаос 2.2 Виды сложных систем 2.3 Открытие детерминированного хаоса 2.4 Элементы теории динамических систем 2.5 Примеры динамических систем с детерминированным хаосом Синергетика короткое название теории сложных систем, в первую очередь динамических (упорядоченных или в той или иной мере хаотичных). В мире есть порядок и упорядоченные структуры, есть беспорядок и случайные явления, есть хаос, т.е. беспорядок в абсолюте. Есть и детерминированный хаос, т.е. беспорядок, в той или иной мере упорядоченный, со случайными процессами, которые частично предопределены и даже закономерны. Интерес к динамическому хаосу связан с тем, что это явление встречается в нелинейных системах самой различной физической природы и находит много практических приложений. Хаотические колебания могут возникать в строго детерминированных системах, но обладают рядом свойств, делающих их похожими на случайные колебания. Образуя новый класс сложных, широкополосных сигналов, легко реализуемых в электронных схемах, они претендуют в радиотехнике на роль переносчиков информации для систем скрытной связи. В этой лекции мы на качественном уровне рассмотрим особенности детерминированного хаоса применительно к динамическим (диссипативным) системам. 2.1 Порядок и хаос В природе и обществе непрерывно происходит борьба порядка и хаоса. Порядок гармоничное, ожидаемое, предсказуемое состояние или расположение чего-либо. Упорядоченность характеристика структуры, обозначающая степень взаимной согласованности её элементов. В этой лекции порядок (детерминизм) будет означать возможность однозначного предсказания состояния системы в любой момент времени, исходя из начальных условий. Хаос апериодическое детерминированное поведение динамической системы, очень чувствительное к начальным условиям. Бесконечно малое возмущение граничных условий для хаотической динамической системы приводит к конечному изменению траектории в фазовом пространстве Фазовая траектория траектория перемещения точки, отображающей состояние динамической системы, в фазовом пространстве. Мы будем считать, что хаос предельный случай беспорядка. Далее хаос для нас будет означать полную непредсказуемость системы, нерегулярность движения, неповторяемость траекторий. Обычно порядок чёткая, подчиняющаяся определенному порядку смена событий в окружающем нас пространстве и во времени. В теории динамических систем под порядком понимают детеpминиpованный процесс, т.е. процесс, каждый шаг которого пpедопpеделён некоторыми закономерностями, которые хорошо известны, так что со 100% вероятностью можно предсказать эволюцию системы. Хаотический процесс случаен управлять им нельзя. Предсказать развитие такого процесса невозможно, можно лишь ставить вопрос о вероятности того или иного варианта его эволюции. Примерами хаотических процессов являются: метание шарика в рулетке, броуновское движение
2 частицы под случайными ударами «соседей», беспорядочные вихри турбулентности, образующиеся при течении жидкости с достаточно большой скоростью, поезда, идущие, когда хотят и куда хотят. Важным видом хаоса является белый шум (шумовой хаос или дробный шум). Шум беспорядочные колебания различной физической природы, отличающиеся сложностью временной и спектральной структуры. Может быть стационарным и нестационарным. Белый шум стационарный шум, спектральные составляющие которого равномерно распределены по всему диапазону задействованных частот. Примером белого шума является шум близкого водопада. Название получил от белого света, содержащего электромагнитные волны частот всего видимого диапазона электромагнитного излучения. Следует различать случайные и хаотические движения. Первый термин относится к ситуациям, когда действующие силы неизвестны или известны некоторые статистические характеристики параметров. Термин «хаотический» применяется в тех детерминированных задачах, где отсутствуют случайные или непредсказуемые силы или параметры, и траектории движений которых обнаруживают сильную зависимость от начальных условий. Рис. 1. а Движение шарика после нескольких соударений с бортами бильярдного стола эллиптической формы. Это движение можно описать дискретным набором чисел (s i, j i), называемым отображением; б движение частицы в паре потенциальных ям под действием периодического возбуждения. При определённых условиях частица периодически перескакивает слева (L) направо (R) и обратно: LRLR... или LLRLLR... и т.д. При других условиях перескоки хаотичны, т.е. последовательность символов L и R неупорядочена. Классическими примерами хаоса являются азартные игры. Однако азартные игры недетерминированный процесс, поскольку в них много случайностей. Хотя теория хаотических динамических систем и использует методы теории вероятности, но не является частью математической статистики. Хаос некоторый случайный процесс, наблюдаемый в динамических системах, не подверженных влиянию шумов или каких-либо случайных сил. Оказалось, что многие вполне детерминированные системы могут обладать хаотическим непредсказуемым поведением. "Случайный" процесс оказывается решением одного или нескольких простых, дифференциальных уравнений. Отсюда возникает проблема непредсказуемости долговременного поведения детеpминиpованных хаотических систем и необходимости использования статистического описания. На рис. 1 показаны два примера механических систем, динамика которых хаотична. Первый пример эксперимент с шаром, который ударяется и отскакивает от сторон эллиптического бильярдного стола. Если соударения упругие, то энергия сохраняется, но для эллиптических столов шар блуждает по столу, никогда не повторяя свою траекторию. Другой эксперимент шар в потенциале, состоящем из двух ям. Если стол, на котором стоит прибор не колеблется, то такой шар имеет два состояния равновесия. Однако, если стол колеблется, совершая периодическое движение достаточно большой амплитуды, шар начинает беспорядочно перепрыгивать из одной ямы в другую; таким образом, периодическое воздействие на оно частоте вызывает неупорядоченный отклик с широким спектром частот. Возбуждение непрерывного спектра частот, расположенного ниже частоты воздействия, является одной их особенностей хаотических колебаний (рис. 2). Рис. 2. Спектр мощности (преобразование Фурье) хаотического движения в паре потенциальных ям. Другое свойство хаотических систем потеря информации о начальных условиях. Пусть координата
3 измерена с точностью Dх, а скорость - с точностью Dv. Разделим плоскость координата-скорость (фазовую плоскость) на ячейки площадью DхDv (рис. 3).Если начальные условия заданы точно, то система находится где-то в заштрихованной области на фазовой плоскости. Но если система хаотична, то эта неопределённость со временем растёт, увеличиваясь до размера N(t) ячеек (рис. 3). Увеличение неопределённости, описываемое законом ht N» N0e, (1) является вторым характерным свойством хаотических систем. Постоянная h связана с энтропией (теория информации) и показателем Ляпунова (мера скорости разбегания близких траекторий системы). Рис. 3. Иллюстрация увеличения неопределённости, или потери информации в динамической системе. Заштрихованный квадрат в момент времени t=t 0 показывает неопределённость знания начальных условий. Между крайностями: порядком и хаосом располагается обширная область детерминированного (в какой-то мере упорядоченного) хаоса. Детерминированный хаос относится к ограниченной случайности, им можно управлять и даже прогнозировать на короткие промежутки времени вперёд. Напомним, что принцип детерминизма гласит: если мы знаем текущее состояние какой-либо системы и законы её эволюции, то мы можем предсказать будущее поведение этой системы. Пример: классическая ньютоновская «механическая» Вселенная, в которой положение планет походит на движение стрелок многострелочных часов. Здесь будущее предсказывается однозначно. Однако, в природе есть системы, полностью детерминистические в ньютоновском смысле, но их будущее в определённом интервале параметров принципиально нельзя рассчитать. Это явление известно как детерминированный хаос, или теория хаоса. Мы под детерминированным хаосом будем понимать систему, которая без шумов и случайностей ведёт себя хаотически. Рассматрим ситуации, когда случайный процесс становится детеpминиpованным, а в детеpминиpованном процессе обнаруживаются элементы случайного, хаотического поведения. Примерами подобных систем являются атмосфера, турбулентные потоки, некоторые виды аритмий сердца, биологические популяции, общество, как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы, частично кристаллические полимеры и др. Характерный пример детерминистического хаоса вода горных потоков. Если бросить в эту речку два листика, один за другим, то ниже по течению они, вероятнее всего, окажутся далеко друг от друга. В системе, подобной этой, небольшое различие в начальных условиях (положение листиков) приводит к большому расхождению на выходе. Можем мы предсказать результат биллиардной игры? Нет! Даже задача с бильярдным шаром, отскакивающим от бортов на совершенно ровном столе, растворяется в неопределенности вследствие неточностей в измерении угла, под которым шар приближается к борту в самом начале. Поведение детерминированной системы кажется случайным, хотя оно определяется детерминированными законами. Причиной появления хаоса является неустойчивость (чувствительность) по отношению к начальным условиям и параметрам: малое изменение начального условия со временем приводит к сколь угодно большим изменениям динамики системы (рис. 4). Так как начальное состояние физической системы не может быть задано абсолютно точно (например, из-за ограничений измерительных инструментов), то всегда необходимо рассматривать некоторую (пусть и очень маленькую) область начальных условий. При движении в ограниченной области пространства экспоненциальная расходимость с течением времени близких орбит приводит к перемешиванию начальных точек по всей области. После такого перемешивания бессмысленно говорить о координате частицы, но можно найти вероятность её нахождения в некоторой точке.
4 Рис. 4. Устойчивые и неустойчивые системы. Примером неустойчивой динамической систем является двумерный газ Генриха Лоpенца (1902). Он состоит из кружков одинакового радиуса рассеивателей, случайным образом разбросанных по плоскости, и материальной точки (частицы), которая движется с постоянной скоростью между ними, испытывая каждый раз зеркальное отражение при столкновении. В неустойчивости такой системы можно убедиться, рассмотрев две близких траектории частицы, выходящих из одной точки. Из рис. 5 видно, что уже после двух актов рассеяния угол между траекториями, первоначально меньший 1, становится больше π/2: первоначально близкие траектории очень быстро расходятся, т.е. происходит "забывание" частицей начальных условий. ("забывание" означает, что при малом варьировании начальных условий статистические свойства траекторий не меняются). При малых временах предсказания поведения системы еще возможны, однако, начиная с некоторого момента приходится использовать статистический подход. Рис. 5. "Потеря памяти" и расходимость близких траекторий в результате неустойчивости движения в двумерном газе Г.Лоpенца. Важным обстоятельством является тот факт, что степень упорядоченности хаоса довольно часто можно рассчитать. Меру даёт геометрия фракталов. Этим мы займёмся в последующих лекциях данного курса. 2.2 Виды сложных систем Задача предсказания поведения изучаемой системы во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени в некоторой точке пространства определить его будущее в любой следующий момент времени. В зависимости от степени сложности самого объекта этот закон может быть детерминированным или вероятностным, может описывать эволюцию объекта только во времени, только в пространстве, а может описывать пространственно-временную эволюцию. Существуют различные типы систем. Консервативная система физическая система, работа консервативных сил которой равна нулю и для которой имеет место закон сохранения механической энергии, т. е. сумма кинетической энергии и потенциальной энергии системы постоянна. Объём в фазовом пространстве постоянен. Примерами консервативной системы служит солнечная система и колеблющийся маятник (если пренебречь трением в оси подвеса и сопротивлением воздуха). Динамическая система математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения эволюции систем во времени. Это система, обладающая состоянием. Она описывает динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояние в другое. Динамическая система характеризуется устойчивостью (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубостью (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы; «грубая система это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров.
5 Частным случаем динамической системы является диссипативная система открытая динамическая система, в которой наблюдается прирост энтропии. Рис. 6. Перемешивание цветного пластилина в шарике после последовательных итераций отображения «Подкова Смейла», т. е., сплющивания и складывания пополам. Диссипативная система открытая система, которая оперирует вдали от термодинамического равновесия. Это устойчивое состояние, возникающее в неравновесной среде при условии диссипации (рассеивания) энергии, которая поступает извне. Характеризуется спонтанным появлением сложной, зачастую хаотичной структуры. Отличительная особенность таких систем несохранение объёма в фазовом пространстве. Динамическая система любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы. Математический аппарат, используемый для количественного описания закона эволюции динамических систем, основан на использовании дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, марковских цепей и т.д. Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно её состояние, и указан закон эволюции. Таким образом, динамическая система = набор параметров + оператор эволюции. Эволюция системы может описываться и дифференциальными уравнениями и отображениями (уравнениями с дискретным временем). Динамические системы могут описываться линейными (линейные системы) или нелинейными (нелинейные системы) уравнениями. Возможны системы с непрерывным и дискретным (каскады) временем. Важную группу динамических систем представляют системы, в которых возможны колебания. Различают линейные и нелинейные колебательные системы, сосредоточенные и распределенные, консервативные и диссипативные, автономные и неавтономные. Особый класс представляют автоколебательные системы. Детерминированный хаос абстрактное математическое понятие, обозначающее детерминированный процесс в детерминированной нелинейной системе, обусловленный свойством данной системы проявлять неустойчивость, чувствительную зависимость динамики системы от малых возмущений. Замечание. Следует различать детерминированный хаос в диссипативных системах (например, возбуждаемый маятник с трением) и в консервативных системах (например, движение планет, подчиняющееся гамильтоновым уравнениям). Гамильтониан, оператор Гамильтона оператор полной энергии, H = E + U,где E оператор кинетической энергии, U оператор потенциальной энергии. Синонимом детерминированного хаоса является динамический хаос явление в теории динамических систем, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то, что оно определяется детерминистическими законами. Оба термина полностью равнозначны и используются для указания на существенное отличие хаоса как предмета научного изучения в синергетике от хаоса в обыденном смысле. Обратным к динамическому хаосу является динамическое равновесие и явления гомеостаза.
6 Важным обстоятельством является тот факт, что в диссипативных системах хаотическая динамика развивается в рамках определённой структуры. Эту структуру трудно изучать обычными методами изучения динамики, например, откладывая зависимость отклика от времени или получая частотный спектр. Порядок следует искать в фазовом пространстве (по осям которого отложены координата и скорость). Попутно можно обнаружить, что хаотические движения обладают фрактальной структурой. Детерминированный хаос характеризуется наличием периодического процесса, траектория которого воспроизводится, т.е. после повторения начального состояния вновь воспроизводится одна и та же траектория, независимо от её сложности. Это позволяет по параметрам одного из периодов повторения траектории прогнозировать будущее. Однако при этом необходимо учитывать свойства равновесных и неравновесных систем. Неравновесные открытые системы допускают новые структурные состояния. Диссипативные системы независимо от вида устойчивости вызывают уменьшение фазового объема во времени до нуля. Так что диссипативная система может переходить в упорядоченное состояние в результате неустойчивости предыдущего неупорядоченного состояния. Первоначально устойчивая диссипативная структура в процессе своей эволюции достигает критического состояния, отвечающего порогу устойчивости структуры, начинает осциллировать, а возникающие в ней флуктуации приводят к самоорганизации новой, более устойчивой структуры на данном иерархическом уровне эволюции. При этом важным является тот факт, что как и в биологических системах, переходы устойчивость-неустойчивость-устойчивость контролируются кумулятивной обратной связью. Она отличается от регулируемой извне обратной связью тем, что позволяет самоорганизовывать такую внутреннюю структуру, которая повышает степень ее организации. Таким образом, кумулятивная обратная связь за счёт накопленной внутренней энергии позволяет системе осуществлять не просто обратное взаимодействие, учитывающее полученную информацию о предыдущем критическом состоянии, но и обеспечивать сохранение или повышение организованности структур. Примерами хаотических динамических систем могут являться подкова Смейла и преобразование пекаря. Подкова Смейла предложенный Стивом Смейлом пример динамической системы, имеющей бесконечное число периодических точек (и хаотическую динамику), причём это свойство не разрушается при малых возмущениях системы. Рис. 7. Эволюция подковы Смейла. Согласно алгоритму "подкова Смейла", единичный квадрат сжимается по одному направлению (по горизонтали) и растягивается по другому (по вертикали), причём площадь при этом уменьшается. Затем получившаяся полоска изгибается в форме подковы и вкладывается обратно в исходный квадрат. Эта процедура повторяется много раз. В пределе образуется множество с нулевой площадью, которое имеет в поперечном сечении канторову структуру частный случай фрактальной геометрии (см. курс лекций И.Н. Бекмана "Фракталы"). Вид аттрактора Смейла мы рассмотрим далее в этой лекции. Рис. 8. Отображение подкова Смейла: вытягивание, сжатие и складывание после большого числа итераций отображения приводят к фрактальной структуре. Отображение пекаря нелинейное отображение единичного квадрата на себя, которое демонстрирует хаотическое поведение. Название «отображение пекаря» происходит из-за его сходства с замешиванием теста. Так как отображение состоит из растяжения вдоль оси x и сжатия вдоль y, то близкие траектории экспоненциально расходятся в горизонтальном
7 направлении и сближаются в вертикальном. Из случайной символической последовательности строится хаотическая траектория, которая проходит сколь угодно близко к каждой точке квадрата (эргодичность). Под действием отображения любая выбранная область превращается в совокупность узких горизонтальных полос, которая через некоторое число итераций равномерно покроет единичный квадрат (перемешивание). Преобразование обратимо, при итерациях в обратном направлении любая область будет разбиваться на узкие вертикальные полоски и также перемешается по всему квадрату. Ещё пример детерминированного хаоса бильярд Адамара, т.е. бильярд, в котором вместо плоского стола используется закрученная поверхность отрицательной кривизны. Вычисление траектории движения шара по бильярдному столу Адамара «абсолютно непригодно», потому что маленькая неопределенность, непременно присутствующая в начальных условиях, приводит к большой неопределенности для предсказанной траектории, если мы подождем достаточно долго, что делает предсказание бесполезным. Рис. 9. Отображение пекаря. Преобразование состоит из однородного сжатия квадрата в 2 раза в вертикальном направлении и растяжения в горизонтальном. Далее правую половину следует отрезать и положить на левую. На рисунке показано действие двух первых итераций. Системы детерминированного хаоса позволяют по другому относиться к использованию статистических подходов к повышению надёжности эксперимента. Согласно традиционной матстатистики, чем больше мы проведём параллельных экспериментов, тем надежнее будут установлены изучаемые зависимости. К детерминированным системам это абсолютно не применимо здесь имеет место эффект принципиальной невоспроизводимости эксперимента. Мы можем ставить один и тот же эксперимент, точнейшим образом воспроизводить начальные условия, и получать повторяемые результаты, но в один прекрасный момент (предсказать его мы не можем) наблюдения начнут давать совершенно несхожие результаты. Это связано с явлением разбегания орбит, которое иллюстрируется только что рассмотренными тремя примерами. 2.3 Открытие детерминированного хаоса Рассмотрение детерминированного хаоса начнём с теории стохастического поведения динамических диссипативных систем. Нас будет интересовать случайное поведение полностью детерминированой системы, эволюцию которой во времени можно точно предсказать (и это подтверждается в широком интервале изменения параметров), но которая при некоторых значениях начальных условий (причём очень незначительных) начинает флуктуировать случайным образом и её поведение становится непредсказуемым, хаотичным. Как показывает повседневный опыт, для многих физических систем малые изменения начальных условий приводят к малым изменениям результата. Так, например, путь автомобиля мало изменится, если руль лишь слегка поворачивать. Но есть ситуации, для которых справедливо противоположное. Сторона, на которую упадет монета, поставленная на ребро, зависит от слабого прикосновения. Последовательность «орлов» и «решек» при подбрасывании монеты проявляет нерегулярное, или хаотическое, поведение во времени, так как крайне малые изменения начальных условий могут привести к совершенно различным результатам. Ещё сравнительно недавно полагали, что случайное поведение системы - это исключение, а практически все системы детерминированы. Однако сейчас понятно, что высокая чувствительность к начальным условиям, приводящая к хаотическому поведению во времени, типичное свойство многих систем. Такое поведение, например, обнаружено в периодически стимулируемых клетках сердца, в электронных цепях, при возникновении турбулентности в жидкостях и газах, в химических реакциях, в лазерах и т. д. С точки зрения математики во всех нелинейных динамических системах с числом степеней свободы больше двух (особенно во многих биологических, метеорологических и экономических моделях) можно
8 обнаружить хаос и, следовательно, на достаточно больших временах их поведение становится непредсказуемым. Для физической системы, поведение которой по времени детерминировано существует правило в виде дифференциальных уравнений, определяющее её будущее исходя из заданных начальных условий. Естественно предположить, что детерминированное движение достаточно регулярно и далеко от хаотичности, поскольку последовательные состояния непрерывно развиваются одно из другого. Это означает, что в классической механике все уравнения должны быть интегрируемы. Но уже в 1892 А. Пуанкаре знал, что в некоторых механических системах, эволюция которых во времени определяется уравнениями Гамильтона, возможно непредсказуемое хаотическое поведение. Примером является неинтегрируемая задача трёх тел, которая в определённых условиях приводит к полностью хаотическим траекториям. Частным случаем задачи трёх тел является движение пробной частицы в гравитационном поле двух неподвижных точечных масс. Даже если движение происходит в одной плоскости, траектория частицы выглядит чрезвычайно сложной и запутанной. Она, то обвивается вокруг одной из масс, то неожиданно перескакивает к другой (рис. 10). Первоначально близкие траектории очень быстро расходятся. Рис. 10. Движение пробной частицы вблизи двух одинаковых масс. Вверху показана начальная часть траектории, а внизу ее продолжение. Сейчас известно, что неинтегрируемых систем в механике много. Через 60 лет после Пуанкаре Колмогоров, 1954; Арнольд, 1963 и Мозер, 1967 доказали, что в классической механике движение в фазовом пространстве не является ни полностью регулярным, ни полностью нерегулярным, а тип траектории зависит от выбора начальных условий (сейчас это утверждение носит название теоремы КАМ). Таким образом, устойчивое регулярное движение в классической механике исключение. Американский метеоролог Эдвард Лоренц (1961) при моделировании неравномерно прогреваемого атмосферного воздуха обнаружил, что даже простая система из трёх связанных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка может привести к совершенно хаотическим траекториям (это первый пример детерминированного хаоса в диссипативных системах). Э.Лоренц вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счёт. Его заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала в середине интервала счёта, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счёта, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счёта, если бы начальные значения для повторного счёта в точности были равны полученным ранее значениям для этого момента времени. Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако, по мере счёта расхождение возрастало, и новое решение вовсё меньше напоминало старое. То, что наблюдал Лоренц, теперь называется существенной зависимостью от начальных условий основной чертой, присущей хаотической динамике. Существенную зависимость иногда называют эффектом бабочки. Такое название относится к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды. Сам Лоренц разъяснил это понятие в статье "Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в Техасе?". Может! Далее под детерминированным хаосом мы будем подразумевать нерегулярное, или хаотическое, движение, порожденное нелинейными системами уравнений, для которых динамические законы однозначно определяют эволюцию во времени состояния системы при известной предыстории. Детерминированный хаос = нелинейная система уравнений + неустойчивость От регулярного движения детерминированный хаос отличается сложными, неповторяющимися траекториями и непредсказуемостью поведения системы при больших временах. От случайного процесса детермированный хаос отличается тем, что в нём нерегулярность происходит из самой системы, а не от внешнего фактора (шум, флуктуации).
9 Рис. 11. Возникновение хаоса при больших временах. Примерами нелинейных систем, в которых проявляется детерминированный хаос, являются: маятник с возбуждением, жидкости вблизи порога возникновения турбулентности, лазеры, приборы нелинейной оптики, переход Джозефсона (Эффект Джозефсона явление протекания сверхпроводящего тока через тонкий слой диэлектрика, разделяющий два сверхпроводника) химические реакции, классические системы, включающие много тел (задача трёх тел), ускорители частиц, взаимодействующие нелинейные волны в плазме, биологические модели динамики популяций, стимулированные клетки сердца и др. Как известно, линейные дифференциальные или разностные уравнения могут быть решены преобразованием Фурье и не приводят к хаосу. А нелинейные уравнения к хаосу могут приводить, но важно понимать, что нелинейность необходимое, но не достаточное условие для возникновения хаотического движения. Наблюдаемое во времени хаотическое поведение возникает не из-за внешних источников шума, не из-за бесконечного числа степеней свободы и не из-за неопределенности, связанной с квантовой механикой (рассматриваемые системы чисто классические). Настоящая первопричина нерегулярности определяется свойством нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства (например, трёхмерного в системе Лоренца). Невозможно предсказать длительное поведение таких систем, поскольку начальные условия можно задать лишь с конечной точностью, а ошибки экспоненциально нарастают. При решении такой нелинейной системы уравнений на компьютере, результат на всё более дальних временах зависит от всё большего количества цифр в (иррациональных) числах, представляющих начальные условия. Так как цифры в иррациональных числах распределены нерегулярно, траектория становится хаотической. Здесь возникает несколько фундаментальных вопросов: - Можно ли предсказать (например, по виду соответствующих дифференциальных уравнений), реализуется ли в системе детерминированный хаос? - Можно ли определить понятие хаотического движения более строго с точки зрения математики и разработать для него количественные характеристики? - Каково воздействие этих результатов на различные области физики? Означает ли существование детерминированного хаоса конец долговременной предсказуемости в физике для нелинейных систем или по хаотическому сигналу ещё можно что-то узнать? 2.4 Элементы теории динамических систем Перейдём теперь к изложению теоретических основ описания динамических систем. Однако, сначала напомним о понятиях, на которых базируется используемый в этой области математический аппарат. Фазовое пространство пространство, на котором представлено множество всех состояний системы, так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства. Фазовое пространство = пространство значений параметров системы. Траектория = набор точек в фазовом пространстве, последовательно посещаемых системой. Особенность фазового пространства заключается в том, что состояние сколь угодно сложной системы представляется в нём одной единственной точкой, а эволюция этой системы перемещением этой точки. При рассмотрении нескольких одинаковых систем, задаётся несколько точек в фазовом пространстве. Совокупность таких систем называют статистическим ансамблем. По теореме Лиувилля, замкнутая кривая (или поверхность), состоящая из точек фазового пространства гамильтоновой эволюционирует так, что площадь (или объём) заключенного в ней фазового пространства сохраняется во времени.
10
Теорема Лиувилля: функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве. Теорема утверждает сохранение во времени фазового объема, или плотности вероятности в фазовом пространстве. Гамильтонова система частный случай динамической системы, описывающей физические процессы без диссипации. В ней силы не зависят от скорости. Динамическая система система, обладающая состоянием. Она описывает динамику процесса перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояние в другое. Динамическая система система, моделью которой является система обыкновенных дифференциальных уравнений. Устойчивая динамическая система - динамическая система, состояние которой полностью определяется начальными условиями и внешними воздействиями в процессе развития. В консервативной системе элемент в фазовом пространстве только изменяет форму, но сохраняет объём (выполняется теорема Лиувилля), что предопределяет характер эволюции и тип хаотичности, возникающий в консервативных системах. Консервативные системы характеризуются неизменным во времени запасом энергии. В механике их называют гамильтоновыми. Механические колебательные системы в отсутствие трения относятся к консервативным системам. В консервативных системах хаотические орбиты стремятся однородно заполнить все части некоторого подпространства в фазовом пространстве, т.е. они характеризуются однородной плотностью вероятности в ограниченных областях фазового пространства. Рис. 12. Сохранение фазового объёма при эволюции гамильтоновой системы. Примером простой консервативной системой с одной степенью свободы является маятник. Если на колебания маятника трение не оказывает заметного влияния, то гамильтониан маятника длины l и массы m равен сумме потенциальной Π= mglcosϕ и кинетической K=p 2 /2ml 2 энергий: H=p 2 /2ml 2 mglcosj, (2) где j угол отклонения от вертикали, а g ускорение свободного падения. Уравнение движения маятника имеет вид: 2 d j + w 2 0 sinj = 0, (3) 2 dt g где w 0 = частота колебаний. l Рис. 13. Фазовый портрет маятника с гамильтонианом (2). Когда полная энергия H=E маятника превышает наибольшее значение потенциальной энергии, E=E rot >mgl, импульс p всегда будет отличен от нуля, что приводит к неограниченному росту угла j. Это означает, что маятник будет вращаться. На фазовой плоскости (рис. 13) такое поведение изображается траекториями E rot, отвечающими движению фазовой точки слева на право для p>0 и справа на лево для p<0. Колебаниям маятника соответствует энергия E=E osc 11
маятника, а гиперболические точки, соответствующие верхнему положению равновесия маятника, являются неустойчивыми. Фазовая кривая, начавшаяся в окрестности гиперболической точки, удаляется от неё, в то время как траектория вблизи эллиптической точки всегда остаётся в её окрестности. Замечание. Маятник в случае малых отклонений описывается линейными уравнениями: частота колебаний не зависит от амплитуды. Маятник в случае больших отклонений относится к нелинейной системе: частота колебаний зависит от амплитуды. Рис. 14. Фазовый портрет интегрируемой системы с двумя степенями свободы. Для систем с двумя степенями свободы фазовое пространство четырёхмерно. Примером является система двух гармонических осцилляторов единичной массы (рис. 14). В случае полностью интегрируемых систем с n степенями свободы фазовое пространство 2n-мерно и в переменных действие-угол имеет структуру множества n-мерных торов. Любая возможная траектория располагается на одном из них. При этом некоторые траектории могут оказаться замкнутыми, другие же будут всюду плотно покрывать поверхность соответствующего тора. Диссипативная система - открытая динамическая система, в которой наблюдается прирост энтропии. В диссипативной системе из-за диссипации энергии объём элемента фазового пространства сокращается с течением времени (теорема Луивилля не соблюдается). Поэтому в фазовом пространстве диссипативных систем появляются притягивающие множества, которые не существуют в консервативных системах аттракторы (attract притягивать). Аттрактор состояние динамической системы, к которому она стремится в процессе своего движения (развития). В фазовом пространстве аттрактор устойчивой динамической системы изображается точкой (в случае апериодических процессов) или предельным циклом (в случае периодических процессов). Странный аттрактор аттрактор, которому в фазовом пространстве соответствует область, притягивающая к себе из окрестных областей все фазовые траектории. Эти траектории имеют сложную и запутанную структуру и представляют собой незамкнутые кривые. Рис. 15. К определению консервативных (а) и диссипативных (б) динамических систем. Для диссипативных систем характерно, что с течением времени облако изображающих точек "съёживается" и концентрируется на одном или нескольких аттракторах подмножествах фазового пространства, обладающих обычно нулевым фазовым объёмом (рис. 15б). С точки зрения динамики во времени это означает, что режим, возникающий в системе, предоставленной себе в течение длительного времени, становится независящим от начального состояния. В диссипативных системах в фазовом пространстве есть аттракторы. Рис. 16. Построение отображения Пуанкаре в фазовом пространстве автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. В анализе динамических систем широко используется отображение Пуанкаре. Отображение - закон, по которому каждому элементу некоторого заданного множества X ставится в соответствие вполне определенный элемент другого заданного множества Y. 12
Отображение Пуанкаре (отображение первого возвращения) проекция некоторой площадки в фазовом пространстве на себя (или на другую площадку) вдоль траекторий (фазовых кривых) системы. Рис. 17. Построение отображения Пуанкаре в фазовом пространстве автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. А. Пуанкаре предложил процедуру, которая сопоставляет динамике в рамках дифференциальных уравнений некоторое отображение. Идея состоит в следующем: в фазовом пространстве выбирается некоторая поверхность, и строится образ фазовой траектории, получающийся при пересечении ею данной поверхности. На рис. 17 показана иллюстрация этого метода сечение Пуанкаре четырех оборотного предельного цикла. Можно видеть, что в таком сечении изображающая точка будет последовательно занимать положения, отмеченные цифрами 1, 2, 3 и 4. Таким образом, в терминах отображений можно сказать, что реализуется цикл периода 4. Понятно, что те или иные перестройки предельного цикла будут приводить и к перестройкам в сечении Пуанкаре. Последнее изучать гораздо проще, что и определяет важность этого метода. При анализе конкретных систем сечение Пуанкаре строится при помощи компьютера. Рис. 18. Качественно разные траектории отличаются сечениями Пуанкаре: а хаотическое движение; б движение к неподвижной точке; в цикл;, г цикл удвоенного периода. На рис. 18 представлены четыре типа сечения Пункаре. Заметим, что метод сечений Пуанкаре является эффективным, но не всегда надёжным, способом исследования периодического движения с понижением порядка системы. Применение сечения Пуанкаре проиллюстрируем на примере системы уравнений Хенона-Хейлиса (1964), описывающей движение частицы массой m=1 в двумерном потенциале: 2 2 x + y U (x, y) = + x y - y 2 3 (3) По сути это два одинаковых гармонических осциллятора с нелинейным взаимодействием между ними. Если полная энергия этой механической системы 0 13
Рис. 19. Модель Хенона-Хейлеса: а область фенитного движения (пунктирные линии представляют собой эквипотенциальные кривые U=const, 1 U=0,01, 2 U=0,04, 3 U=0,125); сечение Пуанкаре (y, P y) при энергии частицы Е=1/10 (б) и Е=1/8 (в). Динамических системы, которые описываются обыкновенными (линейными) дифференциальными уравнениями, имеют четыре типа решений: состояние равновесия, периодическое движение, квазипериодическое движение и хаотическое. Динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться либо как сосредоточенная, либо как распределенная. Математические модели распределенных систем это дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом. Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения её состояния. Рис. 20. Схема возможных преобразований сигнала в линейных и нелинейных системах. В линейной системе оператор эволюции линеен, т.е. А(x+y)=Ax+Ay, A(lx)=lAx. В такой системе не может быть хаотических колебаний. В ней периодические внешние воздействия вызывают после затухания переходных процессов периодический отклик того же периода (рис. 20). Как известно, существуют три классических типа движения: равновесие, периодическое движение (предельный цикл) и квазипериодическое движение. Эти состояния называются аттракторами, поскольку в присутствии какого-либо затухания переходные отклонения подавляются и система "притягивается" к одному из трёх перечисленных состояний. Существует, однако, класс движений (нелинейные колебания), который не сводится ни к одному из классических аттракторов. Здесь движения хаотичны в том смысле, что, если присутствует малая неопределённость начальных условий, то они непредсказуемы (странный аттрактор). Классическим аттракторам соответствуют классические геометрические объекты в фазовом пространстве: равновесному состоянию точка, периодическому движению или предельному циклу замкнутая кривая, а квазипериодическому движению соответствует поверхность в трёхмерном фазовом пространстве. Странный аттрактор связан с геометрическим объектом фрактальным множеством. В трёхмерном фазовом пространстве фрактальное множество странного аттрактора выглядит как набор бесконечного числа слоев или параллельных плоскостей, причём расстояние между некоторыми из них приближаются к бесконечно малому. Примером неинтегрируемой системы может служить двойной плоский маятник с точечными массами m 1 и m 2, (рис. 5) у которого две степени свободы углы φ 1 и φ 2. Если отклонение от положения равновесия мало, то система совершает регулярные гармонические колебания. Однако 14
при увеличении полной энергии наступает такой момент, когда колебания становятся хаотическими маятники начинают прокручиваться и два близких начальных условия приводят к совершенно различной динамике этой нелинейной системы с двумя степенями свободы. Хаотическая динамическая система динамическая система, процессы в которой описываются странным аттрактором. В отличие от устойчивой динамической системы определить состояние системы по заданным значениям времени и начальных условий невозможно. Важной характерной особенностью всех систем, в которых наблюдается детеpминиpованный хаос, является то, что они описываются нелинейными дифференциальными уравнениями или системами уравнений. К таким уравнениям неприменим принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, согласно которому сумма решений есть тоже решение. Нелинейная система управляется нелинейным оператором: A(a 1 x 1 +a 2 x 2) a 1 Ax 1 +aax 2. Примером является функция sin(x). Ситуация осложняется еще и тем, что у нелинейных уравнений часто не одно, а несколько решений. Среди них могут быть как хаотические, так и регулярные, периодические решения. Какое из них осуществляется на практике, зависит от начальных условий. Рис. 21. Двойной плоский маятник и его хаотические колебания. Простейшим видом динамического хаоса является хаотическая динамика в нелинейных системах с дискретным временем (регулярная динамика рассматривается при этом как этап, предшествующий хаосу). Математический аппарат здесь прост, фактически он сводится к теории разностных уравнений. Понимание хаоса в системах с непрерывным временем сложнее, требуется глубокое знание теории дифференциальных уравнений. Важно понимать, что для возникновения хаоса в случае систем с непрерывным временем их размерность (порядок N нелинейного дифференциального уравнения, описывающего данную систему) должна быть не ниже 3-х. Такие системы (3D динамические системы) представляются потоками траекторий в фазовом пространстве, размерность которого 3 (или выше, в соответствии с порядком дифференциального уравнения). Однако в нелинейных динамических системах с дискретным временем хаотические движения могут возникать уже в случае систем 1-го порядка (1D дискретные динамические системы). Эти движения представляют каскады дискретных отображений и описываются нелинейными разностными уравнениями порядка 1 и выше. Отметим, что существуют четыре критерия хаотичности движения: сигнал «выглядит случайным»; в спектре мощности наблюдается широкополосный шум на низких частотах; автокорреляционная функция быстро спадает; сечение Пуанкаре состоит из точек, заполняющих пространство. Математические модели, содержащие 3 и более обыкновенных дифференциальных уравнений, способны демонстрировать хаотические режимы колебаний, которые на первый взгляд имеют вид случайных процессов. Переход в фазовое пространство позволяет получать наглядную информацию об особенностях сложной динамики соответствующих систем, и прежде всего о геометрии предельных множеств фазовых траекторий, которые соответствуют установившимся режимам. Важную роль в анализе хаотических систем сыграл странный аттрактор Э. Лоренца. Лоренц показал, что разогрев воздуха со стороны Земли и охлаждение его с противоположной приводит к конвекционным потокам, которые приближенно описываются системой трёх обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, не имеющих точного аналитического решения: dx/dt=s(y x), (4а) dy/dt=x(r z) y, (4б) dz/dt=xy bz, (4в) где s=10, r=28, b=8/3. 15
Модель Лоренса представляет собой динамическую систему в трёхмерным фазовым пространством. Переменная Х пропорциональна скорости конвективного потока (характеризует скорость вращения конвекционных валов), Y и Z отвечают за распределение температуры соответственно по горизонтали и вертикали. Параметр r пропорционален числу Рэлея, а s и b некоторые безразмерные константы, характеризующие систему. Решение этих уравнений функции X(t), Y(t) и Z(t) определяют в параметрическом виде траекторию системы в трёхмерном "фазовом" пространстве X,Y,Z. Ввиду однозначности функций, стоящих в правых частях этих уравнений, траектория себя никогда не пересекает. Лоренц исследовал вид этих траекторий при разных начальных условиях при значениях параметров r=28, s=10 и b=8/3. Он обнаружил что при этом траектория хаотическим образом блуждает из полупpостpанства x>0 в полупpостpанство x<0, формируя две почти плоских, перепутанных сложным образом спирали. На рис. 8 показана проекция этих спиралей на плоскость XZ для некоторого начального условия. Траектория сначала делает 1 оборот справа, затем 20 слева, затем опять 1 справа, затем 4 слева и так далее. Похожее поведение имеет место и при других значениях параметров. Хаотичность решения означает, что если мы заранее выберем каким угодно способом цепочку переходов из одного полупpостpанства в другое, то у системы Лоренца найдётся решение, которое в точности эту цепочку воспроизведёт. Рис. 22. Траектория, отвечающая хаотическому решению уравнений Лоренца, с параметрами, приведенными в тексте, и начальными условиями X(0)=Y(0)=Z(0)=1. Один эллипс отражает вращение атмосферы по часовой стрелке, другой - против неё. Причина непpедсказуемости поведения этой и других подобных систем заключается в не в том, что не верна математическая теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных условиях, а в необычайной чувствительности решения к этим начальным условиям. Близкие начальные условия со временем приводят к совершенно различному конечному состоянию системы. Причём часто различие нарастает со временем экспоненциально, то есть чрезвычайно быстро (см. рис. 23): D(t) = D(0)e ht, (5) где инкремент неустойчивости h является функцией точки в фазовом пространстве. Рис. 23. Две первоначально близкие траектории в фазовом пространстве расходятся со временем в результате локальной неустойчивости. Оказалось, что нечто похожее происходит и с системами, в которых наблюдается детеpминиpованный хаос: они движутся таким образом, что всё время находятся в неустойчивом состоянии. Иными словами, сколь угодно малые возмущения начальных условий приводят с течением времени к сильному отклонению траектории от своего невозмущенного положения. Если фазовое пространство системы является конечным, то фазовые траектории не могут разойтись из-за неустойчивости более чем на характерный размер области движения, и начинается их запутывание. Предсказать поведение такой системы тогда оказывается практически невозможным. Странный аттрактор это некоторое «сложно устроенное» множество в фазовом пространстве, к которому притягиваются почти все траектории из его некоторой окрестности, а на самом множестве движение имеет экспоненциально неустойчивый характер. Такое сочетание глобального сжатия с локальной неустойчивостью приводит к тому, что аттрактор уже не может быть гладким как, например, тор; он определенным образом расслаивается и представляет собой в некотором сечении канторово множество (фрактально). Странный аттрактор обладает двумя свойствами: траектории на странном аттракторе разбегаются друг от друга; объёмы в фазовом пространстве со временем сокращаются. Динамические системы и методы математического моделирования Элементы теории динамических систем Элементы теории динамических систем Основные понятия теории динамических систем Регулярная и хаотическая Динамические системы и методы математического моделирования Сценарии перехода к хаосу Теорема Пуанкаре-Бендиксона (N = 2) Пусть R замкнутое ограниченное подмножество плоскости, a x f(x) - непрерывно дифференцируемое Лекция 5. Разрушение инвариантных торов гамильтоновых систем 1. Теория возмущений интегрируемых гамильтоновых систем (продолжение). 2. Разрушение резонансных торов. 3. Нелинейный резонанс. 1. Теория возмущений Лекция 10. Фракталы и хаотическая динамика. 1. Понятие фрактального множества. Фрактальная размерность. 2. Геометрия странных аттракторов. 3. Мультифрактальные спектры. 1. Понятие фрактального множества. Колебания и перевороты жесткого маятника Задачи для самостоятельного решения Бутиков Е. И. Аннотация. В данном пособии приведены контрольные вопросы, теоретические и экспериментальные задачи для самостоятельной КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ПРОГРАММИРОВАНИЮ СТУДЕНТА 218 ГРУППЫ ФИЗИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА ГАМОВА АРТЕМИЯ ЛЬВОВИЧА. ТЕМА: Задача Коши для системы Лоренца. Майер РВ, г Глазов Метод компьютерного моделирования при изучении физических явлений Часто аналитические методы не позволяют исследовать эволюцию сложных систем, или их применение связано со сложными математическими Лекция 1 Элементы качественного анализа динамических систем с непрерывным временем на прямой Будем рассматривать автономное дифференциальное уравнение du = f(u), (1) dt которое может быть использовано 3. Динамический хаос 3.1. Гамильтоновы и диссипативные системы. 3.1.1. Гамильтоновы системы. 3.1.2. Диссипативные системы. 3.1.3. Следствия для диссипативных систем. 3.1.4.Хаос в гамильтоновых системах. Хаотические колебательные системы Хаотические системы Газ гелия. Состояние одной молекулы описывается 6 дифференциальными уравнениями -го порядка. В см 3 газа примерно 3 молекул -> 4 дифференциальных уравнений. Динамические системы и методы математического моделирования Элементы теории бифуркаций Понятие бифуркации Происхождение термина бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) связано с тем фактом, что динамическая ЛЕКЦИЯ 19 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛЕЖАНДРА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА. ИНТЕГРАЛ ЯКОБИ 1. Дифференциальные уравнения аналитической динамики Начнём эту лекцию с темы, 18 Расщепление сепаратрис Сначала напомним, что такое отображение Пуанкаре. Пусть рассматривается произвольная система дифференциальных уравнений ẋ = v(x), x M Пусть γ(t) некоторое периодическое решение. 8.Странные аттракторы 1 8.Странные аттракторы В прошлых разделах мы изучали динамические системы, аттракторы которых являлись неподвижными точками или предельными циклами. Предельный цикл, напомним, может Обыкновенные дифференциальные уравнения Лекторы: В. А. Кондратьев, Ю. С. Ильяшенко III IV семестры, программа экзамена 2003 2004 г, варианты 2001 2009 г. 1. Программа экзамена 1.1. Первый семестр Введение. 7 Колебания в консервативной нелинейной системе При макроскопическом рассмотрении любую реальную систему следует считать неконсервативной, те системой в которой полная энергия не остается постоянной в Лекция 6. Развитый хаос в гамильтоновых системах 1. Стандартное отображение. 2. Островки устойчивости. 3. Диффузия в фазовом пространстве. 1. Стандартное отображение 1.1 Ротатор под действием δ-импульсов Тихомиров Ю.В. СБОРНИК контрольных вопросов и заданий с ответами для виртуального физпрактикума Часть 1. Механика 1_1. ДВИЖЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМ УСКОРЕНИЕМ... 2 1_2. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОЙ СИЛЫ...7 Лекция 5 Хаотическое поведение динамических систем. Система Лоренца Разнообразие поведения траекторий на плоскости ограничено теоремой Бендиксона-Пуанкаре, согласно которой траектория может уйти на бесконечность, Динамические системы и методы математического моделирования Символическая динамика Символическая динамика Метод символической динамики - описание динамики системы при помощи допустимых последовательностей 3. Типы аттракторов 1 3. Типы аттракторов Очень наглядным образом можно визуализировать расположение аттракторов на фазовой плоскости, во многом благодаря тому, что существует всего несколько их типов, Ярославский государственный педагогический университет им. К. Д. Ушинского Кафедра общей физики Лаборатория механики Лабораторная работа 7 Экспериментальное определение ускорения силы тяжести и характеристик ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Математика и теоретическая механика» Методические рекомендации Лекция 3 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Постоянная Больцмана. Температура и давление как статистические величины. Одной из особенностей физики является использование абстракций Нелинейный маятник. 1 Безразмерное уравнение движения физического маятника с вязким трением. Уравнение движения физического маятника с учётом вязкого трения: I φ + b φ + mga sin(φ) =, (1) где I момент
ÄÌË ÂÌÍÓ Ç.ë., 1997 DYNAMIC SYSTEMS V. S. ANISHCHENKO The mathematical definition of a dynamic system is formulated. For the dynamic systems described by ordinary differential equations, four types of Бутиков Е. И. Учебная лаборатория компьютерного моделирования колебаний в простых нелинейных системах Санкт-Петербургский государственный университет Для учебной студенческой лаборатории компьютерного Раздел 4. Колебания 1 Тема 1. Колебания без затухания. П.1. Периодический процесс. Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний. П.2. Скорость и ускорение при гармонических колебаниях Семинар 4 Система двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Кинетические кривые. Особые точки. Устойчивость стационарного состояния. Линеаризация системы в Закон Максвелла распределения скоростей 1.Закон распределения скоростей Максвелла..Средняя, средняя квадратичная и наиболее вероятная скорости молекул газа. 3.Средняя длина свободного пробега 4.Опытное Гармонические колебания Колебаниями называются процессы (движение или изменение состояния), в той или иной степени повторяющийся во времени. механические колебания электромагнитные электромеханические 12 апреля 11 Эффект захвата среднего времени возврата Пуанкаре как критерий вынужденной синхронизации хаоса В.С. Анищенко, Я.И. Боев Саратовский государственный университет E-mail: [email protected] Поступило 1 ЛЕКЦИЯ 16 Нелинейные колебания. Фазовый портрет математического маятника. Осциллятор Дуффинга. Удвоение периода. Переход к хаосу. Отображение Пуанкаре. Понятие о фракталах. Предсказуемость хаотического 1. ВВЕДЕНИЕ Физика это наука о наиболее общих свойствах и формах движения материи. В механической картине мира под материей понималось вещество, состоящее из частиц, вечных и неизменных. Основные законы, Теория устойчивости Ляпунова. Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении Колебания в системах с распределенными параметрами Линии с потерями Потери в проводах L L экв i (x,t) R L экв Ldx u(x,t) u(x+dx,t) R экв Rdx u(x dx,t) u(x,t) L экв i(x,t) t R экв i(x,t) u x dx Ldx i t Программа составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта высшего образования (уровень подготовки кадров высшей квалификации) по направлению подготовки 01.06.01 «Математика Лабораторная работа.85 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА. Е.В. Жданова Цель работы: изучить закономерности движения физического маятника и с помощью оборотного маятника Импульс системы n материальных точек ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА, МОМЕНТА ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ где импульс i-й точки в момент времени t (i и ее масса и скорость) Из закона изменения импульса системы где Лекция 8 Волновое движение Распространение колебаний в однородной упругой среде Продольные и поперечные волны Уравнение плоской гармонической бегущей волны смещение, скорость и относительная деформация Математические основы хаотических динамических систем Александр Лоскутов, физический факультет МГУ Аннотация Динамический подход к описанию систем самого различного происхождения известен со времен Ньютона. 5. Параметрические колебания 5.. Введение Рассмотренные ранее случаи возникновения и протекания колебаний были характерны тем, что проявляющиеся в процессе движения силы, можно было отнести к одной из Понятие о бифуркации. Бифуркации положений равновесия. Дифференциальные уравнения динамических систем часто зависят не только от фазовых переменных, но и параметров, т.е. имеют следующую структуру: ẋ = 1 ЛЕКЦИЯ 8 Случайный и детерминированный процессы. Прав ли был Лаплас? Хаос в природе и в повседневной жизни. Что такое случайное число? Хаотический сигнал как решение дифференциального уравнения. Открытие ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Физический факультет ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА Методические указания для выполнения лабораторной работы Томск 14 Рассмотрено и утверждено методической Некоторые дискретные модели турбулентности Акишев А.А. ФГАОУ ВПО «Уральский Федеральный Университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина» Екатеринбург, Россия В работе рассматривается семимерная Глава 7 ТЕОРИЯ ПОРЯДКА И ХАОСА. ЭНТРОПИЯ И ИНФОРМАЦИЯ 7.1. План семинарского занятия 1. Обратимые и необратимые процессы для замкнутых и открытых систем. 2. Термодинамическая вероятность данного состояния. Тема 5. Механические колебания и волны. 5.1. Гармонические колебания и их характеристики Колебания процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от физической природы повторяющегося 2. Фазовое пространство 1 2. Фазовое пространство Прежде, чем перейти к разговору о численных методах решения задач Коши для ОДУ (см. следующие параграфы), скажем несколько слов о важных аспектах их визуализации, Порядок и беспорядок в природе. Синергетика. «ВЕСЬ УПОРЯДОЧЕННЫЙ МИР ВОЗНИК ИЗ ХАОСА» (миф) 25 января 1917 «ПОРЯДОК ИЗ ХАОСА» (И.Пригожин) В ходе эволюции жизни, для формирования порядка необходима энергия, Цель работы. Ознакомиться с основными характеристиками незатухающих и затухающих свободных механических колебаний. Задача. Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность ЛЕКЦИЯ 8 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ХАРАКТЕР ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОНОВ. ЭЛЕКТРОННАЯ ПРОВОДИМОСТЬ В МЕТАЛЛАХ. ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕПЛО- И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ Рассмотрим, чем отличается электронная жидкость от электронного газа. ЛЕКЦИЯ 11 КВАНТОВЫЕ МАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЭЛЕКТРОННЫХ ГАЗАХ Данная лекция посвящена магнетизму электронного газа. Будут рассмотрены такие задачи, как эффект де Гааза ван Альфена, квантовый эффект Холла, Колебания и волны Колебания процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени Колебательная система (осциллятор) система, совершающая колебания По характеру воздействия на колебательную Учебник содержит систематический материал по физическим основам радиохимии, дозиметрии и технике безопасности, ядерно-физическим, химическим и радиотоксическим свойствам радиоактивных элементов, фундаментальной радиохимии, включая химию ядерных превращений и радиационную химию, промышленной радиохимии (производство радионуклидов для ядерных зарядов и для топлива атомных реакторов), прикладной радиохимии (включая методы использования меченых атомов), экологической (состояние и миграция радионуклидов в природных средах) и медицинской радиохимии (синтез меченых соединений медицинского назначения и создание радиофармпрепаратов для диагностики и терапии). Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту высшего образования четвертого поколения. Для студентов и аспирантов химических факультетов университетов, химико-технологических и технических вузов, специализирующихся в области радиохимии и ядерной химии, для аспирантов и преподавателей смежных специальностей, а также для специалистов и исследователей, работающих с радиоактивными веществами, изотопами, ионизирующими излучениями в технических областях, медицине и в области охраны окружающей среды. Целью учебника "Радиохимия" является предоставление студентам вузов информации, необходимой для освоения раздела химии, имеющего дело с радиоактивными веществами, включая знание законов радиоактивного распада и накопления радионуклидов, знакомство со свойствами ионизирующих излучений и закономерностями их взаимодействия с веществом, владение методами измерения ионизирующих излучений и способами статистической обработки результатов радиометрических измерений, знание ядерно-физических, физических, химических и радиотоксических свойств радиоактивных элементов, знакомство со способами получения изотопов и меченных ими соединений, а также методами меченых атомов, используемыми в решении химических, технических или медицинских проблем. Курс включает описание физико-химических закономерностей поведения радионуклидов в ультраразбавленных состояниях, изотопных эффектов и методов разделения изотопов, особенностей ионного обмена и соосаждения, химии горячих атомов и радиационной химии, адсорбционных, экстракционных, электрохимических и мембранных методов выделения и очистки радиоактивных веществ. Учебное пособие содержит сведения по химическим компонентам ядерной индустрии, промышленной радиохимии, методам радиоактивных индикаторов. Существенное внимание уделено использованию радиоактивных веществ и испускаемых ими ионизирующих излучений в радиоэкологии и ядерной медицине. Цели
химического образования студента по курсу "Радиохимия": Задачи
дисциплины: В результате изучения дисциплины и выполнения необходимого объема самостоятельных работ студент будет: Учебник состоит из двух томов: первый том - "Фундаментальная радиохимия", второй том - "Прикладная радиохимия и радиационная безопасность". В первой главе тома 1 приведены сведения о физических основах радиохимии (строение ядра, явление радиоактивности, кинетика радиоактивного распада, накопление и распад в рядах "генетически" связанных радионуклидов, ядерные реакции, взаимодействие излучения с веществом, методы регистрации ионизирующего излучения, статистика распада и способы обработки результатов радиометрических экспериментов). Во второй главе рассмотрены ядерные, физические, химические и токсикологические свойства радиоактивных элементов (их нуклидов). В третьей главе изложены основные идеи фундаментальной радиохимии (изотопные эффекты, изотопный обмен, распределение радиоактивных изотопов между различными фазами, состояние радиоактивных изотопов в ультрамалых концентрациях), методы разделения радиоактивных веществ (адсорбция и сокристаллизация, экстракция, мембранная технология, электролитические методы), радиационная химия и химия горячих атомов. В первой главе тома 2 описаны способы применения радиохимических идей и методов в ядерной индустрии (уран-плутониевый и уран-ториевый циклы, включая дореактор-ные, реакторные технологии, а также переработку, трансмутацию и захоронение радиоактивных отходов). Вторая глава посвящена применению радиоактивных изотопов в химии (определение возраста геологических и биологических объектов, различные варианты активационного анализа, эманационно-термический анализа и др.). В третьей главе рассмотрены методы мониторинга состояния и распространения радионуклидов в окружающей среде, а также некоторые аспекты экологической радиохимии и радиоэкологии. В четвертой главе основное внимание уделено перспективам применения методов радиохимии в ядерной медицине (радионуклидная диагностика и терапия, радиоиммунный анализ, методы наработки радионуклидов медицинского назначения и способы синтеза радиофармпрепаратов). Пятая глава посвящена биологическим аспектам радиохимии, в первую очередь биологическому действию ионизирующего излучения, способам оценки радиационных доз при внутреннем и внешнем облучении, а также организации и правилам работы в радиохимической лаборатории, включая дозиметрию и технику безопасности. Учебник составлен на основе курса лекций, читаемых автором более 20 лет на химическом факультете Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова для студентов 4-го курса, изучающих радиохимию. "Математика диффузии" - учебное пособие по курсам "Диффузионные явления: теория и практика", "Химическое материаловедение" и "Ядерная индустрия". Книга содержит систематический материал по основам математического аппарата, используемого для моделирования диффузионных явлений, обработки и интерпретации результатов экспериментов по изучению транспортных процессов в адсорбционно- и химически-активных гетерогенных средах. Рассмотрены различные типы случайных блужданий, соответствующие им статистические распределения и дифференциальные уравнения в частных производных (в том числе - с дробными показателями), описывающие эти процессы. Приведены примеры решений дифференциальных уравнений параболического типа для тел различной геометрической формы при различных граничных и начальных условиях и коэффициентах диффузии, зависящих от концентрации, координаты и времени. Математический аппарат адаптирован к известным механизмам диффузии, в том числе - к процессам аномальной диффузии (суб- и супердиффузия, полёты Леви). Существенное внимание уделено использованию идей фрактальной геометрии в описании процессов миграции. Даны примеры применения математического аппарата диффузии в практических приложениях. Интегральные преобразования.
Операционное исчисление - метод, позволяющий посредством простых правил решать сложные математические задачи. В его основе лежит идея замены изучаемых функций (оригиналов) другими функциями (образами), получаемыми из данных по определенным правилам, причём действия над оригиналами заменяются более простыми действиями над образами. Операционное исчисление изучает не саму функцию (оригинал), а её видоизменение (изображение). В ходе интегральных преобразований к каждому из членов дифференциального уравнения (а также краевых условий) применяется интегральное преобразование, в результате чего вместо уравнения и краевых условий относительно концентраций получается уравнение и краевые условия относительно её изображения. Применение операционных методов к решению ряда задач диффузионной кинетики даёт преимущества по сравнению с классическими методами в быстроте и наглядности получения аналитических решений. Операционные методы используются там, где классические методы не эффективны, например, для решения задач с внутренними источниками, а также для получения асимптотических решений, т.к. в этом случае нет необходимости добиваться полного решения проблемы. Интегральные преобразования однотипны для задач различного характера и различных форм тела и подходят для задач с граничными условиями I-го - IV-го рода. Этот метод встречает трудности в задачах с произвольным начальным распределением концентрации и в многомерном случае. Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать pdf
5
Предисловие к тому 1
8
Принятые сокращения
9
Введение
11
1. Радиохимия и смежные науки
11
2. Краткая история радиохимии
19
Глава 1. Физические основы радиохимии
28
1.1. Атомное ядро
29
1.2. Типы радиоактивного распада
41
1.3. Кинетика радиоактивного распада
51
1.4. Ионизирующие излучения
63
1.5. Ядерные реакции
72
1.6. Измерение ионизирующих излучений
91
1.7. Статистическая обработка результатов радиометрических измерений
106
124
Задачи
126
Глава 2. Радиоактивные элементы
135
2.1. Технеций
135
2 2 Ппочетий
156
2.3. Полоний
159
2.4. Астат
169
2.5. Радон
174
2.6. Франций
181
2.7. Радий
184
2.8. Актиний
194
2.9 Актиниды
199
2.10. Торий
206
2.11. Протактиний
220
2.12. Уран
227
2.13. Нептуний
259
2.14. Плутоний
273
2.15. Америций
311
2.16. Кюрий
317
2.17. Берклий
321
2.18. Калифорний
322
2.19.Эйнштейний
326
2.20 Феомий
328
2.21. Менделевий
329
2.22. Нобелий
331
2.23. Лоуренсий
332
2 24 Трансактинидные элементы
332
2.25. Резерфордий
341
2.26. Дубний
342
2.27. Сиборгий
343
2.28. Борий
344
2.29. Хассий
344
2.30. Мейтнерий
345
2.31. Дармштадтий
346
2.32. Рентгений
346
2.33. Копернипий
347
2.34. Унунтрий
348
2.35. Флеровий
348
2.36. Унунпентий
349
2.37. Ливерморий
350
2.38. Унунсептий
350
2.39. Унуноктий
351
Вопросы и задания для самоконтроля
351
Задачи
354
Глава 3. Фундаментальная радиохимия
355
3.1. Изотопный обмен
356
3.2. Методы разделения радиоактивных веществ
363
3.2.1. Соосаждение
364
3.2.2. Адсорбция
372
3.2.3. Электрохимия радиоактивных элементов
376
3.2.4. Ионнообменная хроматография
381
3.2.5. Метод экстракции
387
3.2.6. Мембранное разделение
395
3.2.7. Газохимические методы разделения
401
3.3. Состояние радионуклидов в различных средах
407
3.3.1. Коллоидное состояние радиоактивных элементов
364
3.3.2. Состояние радионуклидов в твердой фазе
417
3.3.3. Состояние радиоактивных изотопов в газовой фазе
420
3.4 Радиационная химия в радиохимии
422
3.5. Химические явления, связанные с ядерными превращениями
430
3.5.1. Эффект отдачи
431
3.5.2. Химические последствия радиоактивного распада
441
3.5.3. Эффект Сцилларда-Чалмерса
447
3.5.4. Химия горячих атомов
450
3.5.5.Химические последствия ядерных реакций (n,p), (n, α) и (γ, n)
454
3.6. Изотопные эффекты
458
3.7 Методы анализа изотопного состава
460
Вопросы и задания для самоконтроля
463
Задачи
465
Рекомендуемая литература
468
Предисловие к тому 2
5
Принятые сокращения
7
Глава 4. Промышленная радиохимия
9
4.1. Промышленная радиохимия в ядерной индустрии
10
4.2. Ядерные реакторы
11
4.3. Ядерные топливные циклы
27
4.4. Горнорудная промышленность урана
34
4.5. Переработка урановой руды
43
4.6. Изотопное обогащение урана
55
4.7. Металлургия урана
59
4.8.Топливо для ядерных реакторов
63
4.9. Реакторная стадия ядерного топливного цикла
72
4.10. Обращение с отработавшим топливом
74
4.11. Радиохимическая переработка ОЯТ
80
4.12. Управление радиоактивными отходами
106
4 13. Трансмутация радионуклидов
118
Вопросы и задания для самоконтроля
124
Глава 5. Прикладная радиохимия
126
5.1. Производство радиоактивных изотопов
126
5.2. Радиохронология
133
5.3. Активационный анали
143
5.4. Метод радиоактивных индикаторов в химии
151
5.4.1. Меченые соединения: синтез и свойства
153
5 4.2. Радиоактивные изотопы в аналитической химии
160
5.4.3. Метод радиоактивных индикаторов в физической химии
164
5.4.4. Метол радиоактивных индикаторов в материаловедении
167
Вопросы и задания для самоконтроля
175
Задачи
176
Глава 6. Экологическая радиохимия
180
6.1. Радиоэкологический риск
180
6.2.Природная радиоактивность
183
6.3. Радон в среде обитания
196
6.4. Экологический риск предприятий ядерной индустрии
219
6.4.1. Очистка сбросов предприятий ядерного топливного цикла
219
6.4.2. Техногенные радионуклиды в природных средах
229
6.4.3. Аварии на предприятиях ядерного топливного цикла
233
6.4.4. Ядерные аварии с серьезными экологическими последствиями
242
Вопросы и задания для самоконтроля
248
Глава 7. Медицинская радиохимия
250
7.1. Радионуклидная диагностика
252
7.1.1. Сцинтиграфия
254
7.1.2. Радиоиммунный анализ
269
7.1.3. Однофотонная эмиссионная компьютерная томография
271
7.1.4. Позитронная эмиссионная томография
279
7.2. Радионуклидная терапияь
290
7.3. Радиоиммунная терапия
304
7.4. Производство радионуклидов для ядерной медицины
313
7.5. Радиофармпрепараты для ядерной медицины
323
Вопросы и задания для самоконтроля
333
Глава 8. Радиационная безопасность
335
8.1. Радиационная доза
335
8.2. Методы дозиметрического контроля
352
8.3. Биологическое действие излучений
354
8.4. Техника безопасности
364
Вопросы и задания для самоконтроляя
378
Задачи
380
Предметный указатель
382
Рекомендуемая литература
386
Предисловие к изданию
знать
уметь
владеть
Пособие может быть полезно студентам и аспирантам химических, физических и инженерно-технических вузов, учёным и инженерам изучающим и применяющим на практике процессы диффузии, миграции и массопереноса.
Многие диффузионные задачи решаются методами интегральных преобразований, например, методом операционного исчисления. Существуют различные виды таких преобразований: преобразование Фурье, Лапласа, Ханкеля, Мейера, Конторовича-Лебедева ряд других. В этой главе рассмотрено только интегральное преобразование Лапласа.
Скачать книгу Математика диффузии, Бекман И.Н., 2016 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.
