Подшипник мебиуса применение. Стандартная маркировка в странах евросоюза. Геометрия и топология

Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку.

Лента Мебиуса относится к ним в полной мере. Современная математика замечательно описывает при помощи формул все ее свойства и особенности. А вот обычные люди, слабо разбирающиеся в топонимике и других геометрических премудростях, практически ежедневно сталкиваются с предметами, изготовленными по ее образу и подобию, даже не подозревая об этом.

Что это такое?

Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, - это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве. Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.

Кто и когда ее открыл?

Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно. Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно - в 1858 году. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика — Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».

Свойства

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю - другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.

2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.

3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер - 6, а вот кольцо из бумаги - 5.

Научное использование

Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.

Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная — это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти - замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.

По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.

Реализация на практике

В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 180 0 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.

На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.

Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.

Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них - это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

Источник творческого вдохновения

Лента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности — Мауриц Корнелис Эшер.

Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.

Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.

Литература и топология

Необычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли.

Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».

Делаем сами, своими руками!

Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:

1. Для изготовления ее модели потребуются:

Лист обычной бумаги;

Ножницы;

Линейка.

2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.

3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 180 0 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.

4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.

Лента Мебиуса готова.

5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.

Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса - односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью.

Александр Пославский

Артемий Бабий

Это небольшой очерк о малоизвестных сюрпризах, которые встречаются при изучении геометрии ленты Мёбиуса.

В литературе встречается несколько названий: проективная плоскость, односторонняя поверхность, лента Мёбиуса, петля Мёбиуса, кольцо Мёбиуса. По укоренившейся у меня привычке в дальнейшем я буду называть предмет нашего изучения кольцом Мёбиуса.

Коротко об общеизвестных сюрпризах кольца Мёбиуса . Это необходимо для понимания того, о чем будет рассказано далее.

• Если разрезать кольцо Мёбиуса вдоль по средней линии, то в итоге получится кольцо с двойным полуоборотом. Такое кольцо называют *Афганской лентой* и оно является уже двусхторонней поверхностью с двумя краями (кромками).
• Если разрезать кольцо Мёбиуса вдоль края, отступив на 1/3 его ширины, то в итоге получатся два кольца разных размеров: меньшее - кольцо Мёбиуса ( односторонняя поверхность) и большее - *Афганская лента * (двусторонняя поверхность). Эти кольца сцеплены друг с другом.

А сейчас о новых сюрпризах. Они малоизвестны для широкой публики. А самые любознательные читатели могут повторить нижеописанные опыты. Автор очерка не являеется профессиональным математиком-топологом, всё придумал самостоятельно, без посторонней помощи. Поэтому результаты опытов и идеи, высказанные в этом очерке, предлагаются для обсуждения с его автором.

Сюрприз №1

Сначала я попробовал склеить кольцо Мёбиуса не из одной, а из двух полосок бумаги, предварительно уложив их в стопку (Фото 1). Получилось нечто похожее на настоящее кольцо Мёбиуса (Фото2):

Почему “нечто похожее”? Потому что, когда я растянул это кольцо, оказалось, что в результате склейки получилась “” (Фото 3).

И в чем тут сюрприз? А в том, что при растягивании исходного кольца, не нарушалась его целостность. Это значит, что “ достаточно просто складывается в обратном порядке в исходное кольцо (псевдокольцо) Мёбиуса (Фото 4).

Сейчас время вспомнить, что “афганская лента” получается при разрезании настоящего кольца Мёбиуса по средней линии. Так вот, полученная при разрезании, так же просто складывается в псевдокольцо Мёбиуса . Т.е., разрезав кольцо Мёбиуса (далее - кМ ) по средней линии и получив “афганскую ленту” (“ а.л.” ) , можно уже полученную “ а.л.” собрать в псевдокольцо Мёбиуса (далее - ПкМ ). Вы можете просто склеить “а.л.” и сложить ее в ПкМ . Проверено на практике.

Сюрприз №2

Этот сюрприз является продолжением сюрприза 1 . Я склеил уже три бумажные полоски по форме кМ , предварительно уложив их в стопку (Фото 5 и 6).

Получился некий “бутерброд” в форме кМ (Фото 7) . Если растянуть этот “бутерброд” , то он разложится на два кольца: меньшее - это кМ и большее - это “а.л.” , сцепленные друг с другом (Фото 8).

Но такой же результат получается при разрезании кМ по 1 / 3 его ширины! Как и в первом случае, эти два кольца возможно собрать в первоначальное состояние “бутерброда” . Сначала “а.л.” укладывается в ПкМ (Фото 9) , а затем кМ помещается в середину ПкМ (Фото 10). Проверено на практике.

Удивительно, но, разрезав уже “бутерброд” по 1 / 3 ширины, можно собрать новый, более сложный “бутерброд” . Теоретически такое деление “бутербродов” и их собирание можно продолжать... ну очень много раз. В итоге получится многослойный “бутерброд” , состоящий из многих слоёв “афганских лент” и одного кольца Мёбиус а , расположенного в середине “бутерброда” .

Для более образного представления многослойного (бутербродного) строения псевдокольца Мёбиуса предлагаю два рисунка из серии “математики шутят”:

На примере “бутерброда” (Фото 7,10) можно легко и зримо понять ещё одно свойство односторонней поверхности (проективной плоскости): нельзя создать две , параллельные друг к другу, однносторонние поверхности (во всяком случае в нашем трёхмерном, эвклидовом, пространстве). Одна из них обязательно получится двухсторонней.

Здесь я сделаю небольшое отступление. В Интернете я встретил описание эксперимента с кольцом Мёбиуса . Выглядел он так: на полимерную плёнку в форме кМ наносился металлический слой. Над полученным образцом проводились различные действия, считая что проводятся опыты над кМ . Строго говоря, опыты проводились над вышеописанным “бутербродом” , где рабочий металлический слой являлся “афганской лентой” , а кольцом Мёбиуса была несущая полимерная плёнка.

Возвращаясь к теме, хочу заметить, что я тоже хотел поэкспериментировать с кМ . Но меня не устраивала несовершенная форма кМ , полученная из прямоугольных полосок. Эта “прямоугольная” конструкция имеет, как минимум, три зоны деформации, которые четко проявляются при уплощении кМ . Поэтому я посчитал, что кМ , собранные на основе S-образных полосок, более технологичны в работе(Фото 11 и 12).

Чтобы получить кМ изS- образной полоски достаточно состыковать концы полоски и склеить их. Причем, в зависимости от того в какую сторону вы будете перегибать полоску, будет получаться лево- или правозакрученный вариант кМ . Так же просто получается и вышеописанный “бутерброд” : делается стопка из 3 -хS -образных полосок, сводятся их концы и поочередно склеиваются.

Опыты с разрезанием кольца Мёбиуса и собиранием “бутербродов” с этим вариантом более наглядны и сборка получается очень легко.

“Бутерброд” , полученный из трех полосок может послужить моделью для создания конденсатора в форме кМ . Только надо понимать, что в начале необходимо создать кМ из металлической фольги (внутренняя пластина-электрод), а уже на него наносить слои диэлектрика и металлической плёнки (внешняя пластина-электрод). Хотя здесь возможны варианты не с кМ , а с ПкМ и это потребует несколько иного подхода.

Я не знаю, будет ли такая конструкция конденсатора иметь преимущества перед традиционной, но считаю, что она будет интересна для тех, кто занимается торсионными полями. Почему? Это уже тема для дискуссии с автором очерка.

Сюрприз №3

Продолжим. Несмотря на полученный результат, у меня осталась неудовлетворенность несовершенством формы полученного таким способом кМ . Размышляя над этой проблемой, я вспомнил, что кМ относится к торовым поверхностям. Так как у меня с пространственным воображением напряг и мне необходимо всё увидеть глазами и потрогать руками, то я взял кольцо Мёбиуса и оклеил его бумажными кольцами. Получилась вот такая конструкция (Фото 13).

И где здесь обещанный сюрприз? Рассматривая полученный “тор” , я открыл (заостряю - для себя; возможно всё выше- и нижеописанное давно известно читателям этого опуса), что кольцо Мёбиуса не делит внутренний объём тора на две изолированные друг от друга полости. Другими словами: из любой точки, находящейся внутри тора со встроенным в него кМ , можно попасть в любую другую точку внутри, не пересекая плоскость кМ и поверхность тора.

Для наглядности представим себе тор в виде спасательного резинового круга внутри которого находится перегородка в виде кМ . Давление воздуха внутри круга с перегородкой в форме кМ будет распределятся равномерно по всему объёму независимо от того, где будет располагаться ниппель. Кстати, фото 13 очень наглядно моделирует форму магнитного поля вокруг продольной катушки Мёбиуса .

Теоретически принцип построения идеального торового кольца Мёби уса достаточно прост, но практическое исполнение модели торового кМ сопряжено с определёнными техническими трудностями.

Для практического изготовления торовых кМ более всего подходит распечатка на 3-D принтере.

Итак, сюрпризы продолжаются

Сейчас наступило время поговорить о таком замечательном геометрическом теле как ТОР.

Как образуется открытый ТОР ? Правильно, открытый ТОР образуется при вращении торообразующей окружности вокруг оси, находящейся вне этой окружности и имеет вот такой вид (Фото14).

Еще различают пиковый ТОР . Это когда большая ось вращения является касательной к торообразующей окружности. По-простому - бублик без дырки. А также закрытый (осевой) ТОР , когда ось вращения пересекает торообразующую окружность. Хороший пример - округлое яблоко.

Для того, чтобы получить кМ в ТОР е, обозначим в торообразующем круге диаметр (два радиус-вектора). А сейчас заставим торообразующий круг вращаться не только вокруг внешней оси, а одновременно и вокруг внутренней оси ТОР а. За полный оборот вокруг внешней оси круг должен одновременно повернуться на полоборота вокруг внутренней оси. Тогда диаметр (два радиус-вектора) опишет плоскость в виде кМ (Фото 15) .

Но это кМ получено в воображаемом опыте. А как же получить его в реале, не имея в наличии 3-D принтер? Вы можете придумать свой способ, отличный от моего. Я же поступил следующим образом. На поверхности открытого ТОР а (из детской пирамидки) нарисовал траекторию движения радиус-векторов (Фото 16) . Затем взял латунную проволоку, аккуратно обогнул её вокруг ТОР а по этой траектории и получил две половинки края (кромки) торового кМ (Фото 17).

Затем соединил их с помощью двух трубочек, а пространство между ветками полученной петли заполнил отрезками изоленты (Фото 18 и 19).

Кольцо Мёбиуса в ТОР е можно получить и с помощью одного радиус-вектора. При этом он должен одновременно сделать два оборота вокруг внешней оси и полный оборот вокруг внутренней оси. И здесь становятся понятными две вещи: первое - кМ имеет ось симметрии (или среднюю линию) и второе - почему, если разрезать кМ по средней линии, получается кольцо с двойным полуоборотом (*Афг aнская лента* ). Просто представьте себе, что нарисует единичный радиус-вектор при первом обороте вокруг внешней оси, и что при втором.

Внимательный читатель, склеивая кМ и затем разрезая его по средней линии, мог заметить что при этом ножницы совершают один оборот. Если же резать кМ по 1 / 3 ширины, то ножницы совершают уже два оборота.

КМ сохраняет свойства односторонней поверхности и при большем количестве полуоборотов. Главное условие - количество полуоборотов должно быть нечетным.

Такой лист Мёбиуса или кольцо Мёбиуса , как кому нравится, я назвал двухвекторным. Зачем? А затем, что такое кольцо строится двумя радиус-векторами. Ну и что? А то, что...

Сюрприз №4

В торе можна создавать трёх-, четырёх-, ...,N -векторные кольца Мёбиуса . Взгляните на Фото 20. Оно иллюстрирует принцип создания трехвекторного кольца Мёбиуса.

В торообразующей окружности показаны три радиус-вектора - А, В, С . Вращая эту окружность вокруг внешней оси и одновременно закручивая её вокруг внутренней так, чтобы при завершении оборота вектор А состыковался с вектором В (соотвтственно вектор В к С , а С к А ), радиус-векторы опишут (создадут) одностороннюю поверхность в виде трехвекторного (трёхлепесткового) кольца Мёбиуса .

Это универсальный метод получения N-векторных односторонних поверхностей и они будут обладать всеми свойствами обычного кМ.

При таком подходе к построению торовых кМ особое значение приобретает средняя линия (по другому - линия сопряжения). В этом случае линия сопряжения совпадает с внутренней осью тора. Если, к примеру, 3-хвекторный кМ расшить по линии сопряжения, то мы получим вариант “афганской ленты” в тройной петле:

Трёхвекторное кМ , созданное по даной схеме, можно обозначить в виде дроби 1 / 3 , где в знаменателе указывается число векторов, а сама дробь указывает на какой угол закручиваестся каждый вектор при полном обороте.

Я назвал эту дробь индексом км . Например, если я буду говорить о кМ с индексом км = 1 / 4, то это означает, что речь идёт о четырёхвекторном кМ с закрутом в 1 / 4 оборота (умножив на 360 0 , получим результат в градусах) или в 90 0 . Индекс км ,выраженный в градусах - это базовый угол закрута. При этом надо помнить, что индекс км не может принимать значение целого числа .

Приняв во внимание, что кМ может закручиваться по левому или правому винту, я обозначил левый винт знаком ”-“ , а правый винт - знаком “+” . Тогда полная запись индекса км будет выглядеть на примере так: индекс км = + 1 / 4 . Значит речь будет идти о четырехвекторном кМ с закрутом в 1 / 4 оборота(базовый угол закрута - 90 0 ) и правым винтом.

Индекс км становится очень информативным показателем, помогающим достаточно быстро разобраться в огромном семействе многовекторных кМ и их различных сочетаниях.

Я не ставил перед собой задачу описывать и систематизировать всё многообразие семейства торовых кМ и их взаимосочетаний. Остановлюсь только на нескольких осбенностях, которые необходимо учитывать при конструировании девайсов с геометрией кМ .

1. Если индекс км имеет общее кратное для числителя и знаменателя, то при моделировании получается система из нескольких взаимопересекающихся кМ (от 2-х и более). Рассмотрим примеры 6 -тивекторного построения.

Индекс км =+ 2 / 6 , где общее кратное для данной дроби равно 2 . Это означает, что при моделировании получится система из 2-х трехвекторных кМ с базовым углом закрута в 120 0 :

Индекс км =+ 3 / 6 , где общее кратное равно 3 . При моделировании получается система из 3-х двухвекторных кМ с базовым углом в 180 0 :

2. Если индекс км имеет вид 1 / 4 , 1 / 6 , 1 / 8 … 1 / 2 N или 3 / 4 , 5 / 4 , 5 / 6 , 7 / 6 … 2 N±1 / 2N (где N - любое натуральное число, начиная с числа 2 ), то при моделировании получается самопересекающееся кольцо Мёбиуса - от однократного самопересечения до многократного. При этом односторонность такого кМ сохраняется в любом случае. Приведу несколько примеров, подтверждающих данное утверждение:

Году. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана. Для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности , так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса. (см. символ бесконечности).

Свойства

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты намотаные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мёбиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника . Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Геометрия и топология

Параметрическое описание листа Мёбиуса.

Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные так, чтобы направления стрелок совпали.

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества является параметризация:

где и . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x - y с центром в . Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.

Лист Мёбиуса - это также пространство нетривиального расслоения над окружностью с слоем отрезок.

Подобные объекты

Близким «странным» геометрическим объектом является бутылка Клейна . Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.

Другое похожее множество - сфера с плёнкой. Если проколоть отверстие в сфере с плёнкой, тогда то что останется будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет сфера с плёнкой. Чтобы визуализировать это, полезно деформировать ленту Мёбиуса так, чтобы её граница стала обычным кругом. Такую фигуру называют «пересечённая крышка» (пересечённая крышка может также означать ту же фигуру с приклееным диском, то есть погружение проективной плоскости в ).

Существует распространённое заблуждение, что пересечённая крышка не может быть сформирована в трёх измерениях без самопересекающейся поверхности. На самом деле возможно поместить ленту Мёбиуса в с границей, являющейся идеальным кругом. Идея состоит в следующем - пусть C будет единичным кругом в плоскости x y в . Соединив антиподные точки на C , то есть, точки под углами θ и θ + π дугой круга, получим, что для θ между 0 и π / 2 дуги лежат выше плоскости x y , а для других θ ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости x y ).

Можно заметить, что если диск приклеивается к граничной окружности, то самопересечение получающейся сфера сплёнкой неизбежно в трёхмерном пространстве. В терминах задания сторон квадрата, как было показано выше, сфера с плёнкой получается склеиванием двух оставшихся сторон с сохранением ориентации.

Открытые проблемы

ОТВЕТ : Таких формул существует бесконечно много, см., напр., .

Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Эта задача, впервые поставленная Садовским (M. Sadowsky ) в 1930 году, была недавно решена, см. . Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений.

Искусство и технология

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - лист Мёбиуса II , показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике , например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты» . Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (напр. «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Ленобласть
• Лента Мёбиуса

Смотреть что такое "Лента Мебиуса" в других словарях:

Лента мебиуса - Лента Мёбиуса Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R3. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не… … Википедия

ЛЕНТА МЕБИУСА - Группа была образована 29 марта 1996 г. Николаем Марконовым (вокал, гитара, тексты) экс Аниматоры. В группу приходят Алексей Шубенко (бас), (гр. Мотохулиганы), Валерий Быстрое (соло), (гр. Буш билдинг), Олег Буробин (ударные), (гр. Старик… … Русский рок. Малая энциклопедия

Лента Мёбиуса - Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса, петля Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, однос … Википедия

Лента мёбиуса - Лист Мёбиуса (лента Мёбиуса) топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R3. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.… … Википедия

Приобретая разнообразные товары или продукты питания в магазине, меньше всего покупатель обращает свое внимание на упаковку. Главное для него это содержимое упаковки. Ответить на вопрос из чего изготовлена бутылка для моющего средства или шампуня, какой материал используют для производства пакета, смогут единицы. Но качественная упаковка – это залог безопасности и того, что здоровью не будет нанесен вред! Условные обозначения на упаковочном материале позволяют узнать, во что упаковывают и как следует хранить пищевые продукты и другую продукцию.
В странах Евросоюза (ЕС) обязательная маркировка товаров, которые импортируются в другие страны, закреплена сводом законов. Соглашение о торговле и сотрудничестве между ЕЭС и СССР было подписано 25 июня 1988 году. 1 декабря 1997 года между Российской Федерацией и ЕС в силу вступило двустороннее соглашение.
Самые распространенные маркировки, цифровые и условные обозначения представлены ниже. Эта информация позволит Вам не совершить ошибку при выборе продукции.

Маркировка представляет собой цифры или буквенные обозначения позволяющие установить тип и состав материала. Обозначения, которые наносятся на упаковку, помогают легче отсортировать и утилизировать ее после использования.

Треугольник с тремя стрелками → СОЗДАНИЕ → ПРИМЕНЕНИЕ → УТИЛИЗАЦИЯ.
Это обозначение дает понять, что упаковка может применяться для вторичной переработки. Использование данного знака – это основа, в которой указывается материал изготовления продукции. Внутрь знака вписывается соответствующая цифра, которая обозначает тот или иной материал. При обозначении пластика может использоваться буквенный код.

Цифровые и буквенные обозначения на пластмассе.

Пластик цифры от 1 до 19
Картон и бумага от 20 до 39
Металл от 40 до 49
Древесина от 50 до 59
Ткани и текстиль от 60 до 69
Стекло от 70 до 79

1 - ПЭТ (PET) полиэтилентерефталат
- 2 - ПВД (HDPE) полиэтилен высокого давления
- 3 - ПВХ (PVC) поливинилхлорид
- 4 - ПНД (LDPE) полиэтилен низкого давления
- 5 - ПП (PP) полипропилен
- 6 - ПС (PS) полистирол
- 7 - OTHER другие полимеры, которые вторично не перерабатываются

*Петля Мебиуса*. Представляет собой треугольник, который обозначает, что упаковка была частично или полностью изготовлена из переработанного материала. Иногда производитель может указать соотношение используемого вторичного сырья в изготовленной продукции в процентном выражении.

*Бокал и Вилка*. В представленном виде говорит о том, что упаковка или посуда может использоваться для продуктов питания, в том числе для длительного хранения.
*Бокал и Вилка* перечеркнуты*. В этом случае упаковка не предназначена для использования и тем более хранения продуктов питания.

Знак соответствия системы обязательной сертификации.

ЭКОмаркировка.

Степень экологичности товара и упаковки в соответствии с требованиями ЕС предусмотрены следующие цвета:

√ зеленый и голубой
√ белый цвет на черном фоне
√

черный цвет на белом фоне

На сегодняшний день наша планета сталкивается с главной проблемой экологии. Стоит острый вопрос утилизации продуктов жизнедеятельности с минимальным риском нанесения вреда окружающей среде и здоровью человека.

*Листок жизни* Относится к российской экомаркировке. Обозначает соответствие самым жестким мировым стандартам и отвечает за качество, а также экологическую безопасность для внешней среды и человеческого здоровья.

*Цветок ЕС* или *ЭКО - цветок*. Данный знак присваивается продукции, которая производится в странах Европейского союза. Такая продукция отвечает самым высоким стандартам экологии.

*Северный лебедь*. Его можно встретить на продукции из Скандинавских стран, таких как Швеция, Норвегия, Финляндия, Исландия и Дания. Товары, на которых есть такое обозначение, соответствуют экологическим стандартам, установленным этими странами.

*Голубой Ангел*. Относится Федеральному Министерству по охране окружающей среды в Германии. Впервые данной маркировкой воспользовались в 1978 году. Этому экознаку уже больше 30 лет.

*Green Seal* или *Зеленый Знак*. Обозначает соответствие экологическим стандартам в США. Подтверждает безопасность продукции для здоровья человека и окружающей среды.

*Экологический выбор*. Данная маркировка применяется в Канаде.

Японская Экологическая Ассоциация

*Не выбрасывать*. Наносится для информирования потребителей не выбрасывать продукцию, на которой указан такой знак, в контейнер с бытовым мусором. Ее следует сдавать в специальные пункты по утилизации отходов.
Рекомендуется сдать в пункты утилизации.

*НЕ СОРИТЬ* маркировка на черном фоне *НЕ СОРИТЬ* маркировка на белом фоне

Такой знак часто встречается на товарах и различных упаковках во многих странах мира. К нему делают разнообразные подписи на иностранных языках, которые имеют разное содержание:
На английском "Keepyourcountrytidy" - "Содержи свою страну в чистоте";
На испанском "Gracias" - "Спасибо".
Смысл изображения один, он призывает людей "НЕ СОРИТЬ"!
Даже те, кто не знает иностранные языки или дети, не умеющие читать, значение этого знака поймут сразу.

Сохраним планету чистой для наших детей!

Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология, исследующей общие свойства фигур, сохраняющихся при таких непрерывных преобразованиях, как скручивание, растяжение, сжатие, изгибание и других, не связанных с нарушением целостности. Удивительной и неповторимой особенностью такой ленты является то, что он имеет всего одну сторону и край и никак не связаны с ее расположением в пространстве.

Лист Мебиуса является топологическим, то есть непрерывным объектом с простейшей односторонней поверхностью с границей в обычном Евклидовом пространстве (3-мерном), где возможно из одной точки такой поверхности, не пересекая края, попасть в любую другую.

Кто и когда ее открыл?

Такой непростой объект, как лента Мебиуса, был и открыт довольно необычно. Прежде всего отметим, что два математика, абсолютно не связанные между собой в исследованиях, открыли ее одновременно – в 1858 году. Еще одним интересным фактом является то, что оба этих ученых в разное время являлись учениками одного и того же великого математика - Иоганна Карла Фридриха Гаусса. Так, вплоть до 1858 года считалось, что любая поверхность обязана иметь две стороны. Однако Иоганн Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мебиус открыли геометрический объект, у которого была всего одна сторона, и описывают его свойства. Лента была названа в честь Мебиуса, а вот отцом-основателем «резиновой геометрии» топологи считают Листинга и его труд «Предварительные исследования по топологии».

Свойства

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Наличие одной стороны. А. Мебиус в своем труде «Об объеме многогранников» описал геометрическую поверхность, названную затем в его честь, обладающую всего одной стороной. Проверить это довольно просто: берем ленту или лист Мебиуса и стараемся закрасить внутреннюю сторону одним цветом, а внешнюю – другим. Не суть важно, в каком месте и направлении было начато окрашивание, вся фигура будет закрашена одним цветом.

2. Непрерывность выражается в том, что любую точку этой геометрической фигуры можно соединить с любой другой ее точкой, не пересекая границы поверхности Мебиуса.

3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

5. Особый хроматический номер, показывающий, какое максимально возможное число областей на поверхности Мебиуса, можно создать так, чтобы у любой из них была общая граница со всеми другими. Лента Мебиуса имеет хроматический номер – 6, а вот кольцо из бумаги – 5.

Научное использование

Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.

Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная - это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку, откуда стартовал.

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.

По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение - это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.

Реализация на практике

В различных отраслях промышленности лента Мебиуса применение нашла уже давно. Великий изобретатель Никола Тесла в начале века изобрел резистор Мебиуса, состоящий из двух скрученных на 1800 проводящих поверхностей, который может противостоять потоку электрического тока без создания электромагнитных помех.

На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.

Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.

Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них - это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

Источник творческого вдохновения

Лента Мебиуса и ее свойства легли в основу творчества многих художников, писателей, скульпторов и кинематографистов. Самый известный художник, использовавший в таких своих работах, как «Лента Мебиуса II (Красные муравьи)», «Всадники» и «Узлы», ленту и ее особенности - Мауриц Корнелис Эшер.

Листы Мебиуса, или, как их еще называют, поверхности минимальной энергии, стали источником вдохновения для математических художников и скульпторов, например, Брента Коллинза или Макса Билла. Самый известный памятник ленте Мебиуса установлен у входа в вашингтонский Музей истории и техники.

Русские художники также не остались в стороне от этой темы и создали свои работы. Скульптуры «Лента Мебиуса» установлены в Москве и Екатеринбурге.

Литература и топология

Необычные свойства поверхностей Мебиуса вдохновили многих писателей на создание фантастических и сюрреалистических произведений. Петля Мебиуса играет важную роль в романе Р. Желязны «Двери в песке» и служит как средство перемещения сквозь пространство и время для главного героя романа «Некроскоп» Б. Ламли.

Фигурирует она и в рассказах «Стена темноты» Артура Кларка, «На ленте Мебиуса» М. Клифтона и «Лист Мебиус» А. Дж. Дейча. По мотивам последнего режиссером Густаво Москера был снята фантастическая кинокартина «Мебиус».

Делаем сами, своими руками!

Если вас заинтересовала лента Мебиуса, как сделать ее модель, вам подскажет небольшая инструкция:

1. Для изготовления ее модели потребуются:

Лист обычной бумаги;

Ножницы;

Линейка.

2. Отрезаем полосу от листа бумаги так, чтобы ее ширина была в 5-6 раз меньше длины.

3. Полученную бумажную полоску раскладываем на ровной поверхности. Один конец придерживаем рукой, а другой поворачиваем на 1800 так, чтобы полоса перекрутилась и изнанка стала лицевой стороной.

4. Склеиваем концы перекрученной полосы так, как показано на рисунке.

Лента Мебиуса готова.

5. Возьмите ручку или маркер и посередине ленты начните рисовать дорожку. Если вы сделали все правильно, то вернетесь в ту же точку, откуда начали чертить линию.

Для того чтобы получить наглядное подтверждение тому, что лента Мебиуса - односторонний объект, карандашом или ручкой попробуйте закрасить какую-либо ее сторону. Через некоторое время вы увидите, что закрасили ее полностью.опубликовано econet.ru