Фбу региональный центр стандартизации метрологии и испытаний. Службы по метрологии. Метрологические службы юридических лиц
Cтраница 1
Функциональный анализ близок к причинному анализу, который связан с большими трудностями. Перефразируя Бэкона, можно сказать, что бывают случаи, когда А предшествует В и все модификации А сопровождаются модификациями В, а остальные переменные постоянны.
Функциональный анализ в нормированных пространствах прошло двадцать лет.
Функциональный анализ - сравнительно недавно возникшая научная дисциплина. Как самостоятельная ветвь математического анализа он оформился лишь за последние двадцать - тридцать лет, что не помешало ему, однако, занять одно из центральных мест в современной математике.
Функциональный анализ рассматривает подходящим образом выбранные классы функций как множества точек в топологических пространствах (гл. Изящные и богатые геометрическими аналогиями выводы теории линейных преобразований, введенной в гл. Решения линейных дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, и линейных интегральных уравнений находятся путем более или менее простого обобщения решения систем линейных уравнений, в частности, сюда могут быть включены задачи о собственных значениях (пп.
Функциональный анализ заключается в том, что для каждой выходной функции изделия анализируют возможные причины ее нарушения, постепенно доходя до заданного уровня разукрупнения. При этом удается выявить отказы, имеющие одинаковые внешние проявления.
Функциональный анализ - совокупность физических и химических методов анализа, применяя которые можно качественно и количественно определять в органических соединениях реакционноспособные группы атомов (или отдельные атомы), так называемые функциональные группы.
Функциональный анализ - подчинен основной задаче - предварительному определению параметров по заданным показателям качества исходя из рассмотрения физического принципа работы изделия и рационального технического решения. В построение математических моделей функционирования главное внимание обращается на методологию применения методов функционального анализа. Стараются применять методы функционального анализа в их наиболее чистом, простом и фундаментальном виде.
Функциональный анализ имеет большое значение для идентификации, так как он позволяет установить тип неизвестного соединения, его молекулярную массу или некоторую часть ее, а также соотношение функциональных групп.
Функциональный анализ не всегда завершается полным строгим решением, так как основным назначением может быть разработка базовой математической модели функционирования. Разработка базовой модели позволяет более глубоко вникнуть в задачу, более полно понять физические законы и принимаемые допущения. Она особенно предпочтительна при решении новых задач, при этом во многих случаях удовлетворяются приближенной оценкой значения величин, существенных для задачи, и не ищут путей точного их определения. Иногда найти такие пути очень трудно или вовсе невозможно. Сопоставление приближенных значений величин различных параметров в базовой модели нередко создает основу для построения правильной картины развития процесса, для выделения в ней основного и отбрасывания второстепенных частностей. Большинство реальных задач функционального анализа при построении базовой математической модели функционирования лучше всего решать, используя обобщенный подход, и особенно, когда формальный подход совсем неприемлем. В обобщенном подходе из-за наличия нескольких функциональных свойств используют метод теории подобия и метод размерностей.
Функциональный анализ предполагает определение типа функциональной группы (например, альдегидная, карбонатная или гидроксильная), входящей в исследуемую пробу, без уточнения того, какое конкретное соединение содержит данную функциональную группу. Иногда и эти сведения недостаточны для точного идентифицирования соединения, если, например, оно может существовать в виде нескольких изомеров. Так, комплекс [ Р МНзЬСЬ ], как - уже было показано (гл. IV), может быть представлен в виде транс - или г ис-изомера. Точная идентификация изомера, который присутствует в системе, является очень сложной задачей, требующей использования более специальных химических и физических методов. Проблемы этого рода очень часто встречаются при анализе комплексных и особенно органических соединений.
Функциональный анализ изучает множества, снабженные согласованными между собой алгебраическими и топологическими структурами, и их отображения, а также методы, с помощью которых сведения об этих структурах применяются к конкретным задачам.
Функциональный анализ и вычислительная мате - (атика.
Функциональный анализ изучает некоторые тополого-алгебраи веские структуры, а также методы, с помощью которых сведения юб этих структурах могут применяться к аналитическим задачам.
Функциональный анализ играет важную роль в современном математическом образовании инженера-исследователя, которому предстоит применять математические методы в конкретной области науки. На языке функционального анализа получают явное выражение основные проблемы прикладной и вычислительной математики.
И интеграла, теория функций , теория операторов , дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине XX века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических.
Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описаны языком функционального анализа. В частности, в начале XXI века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений , математической физике, теоретической физике (в том числе, квантовой механике , теории струн), теории управления и оптимизации , теории вероятностей , математической статистике , теории случайных процессов и других областях. Теория преобразования Фурье , используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также может рассматриваться как часть функционального анализа.
Некоторые понятия функционального анализа
История
Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений . Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик Стефан Банах .
Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).
Методы функционального анализа быстро приобрели популярность в различных областях математики и физики в качестве мощного инструмента. Значительную роль при этом сыграла теория линейных операторов :
| Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит и теория линейных операторов, которую иногда называют становым хребтом функционального анализа.
Именно через теорию операторов функциональный анализ столкнулся с квантовой механикой , дифференциальными уравнениями, теорией вероятности, а также рядом прикладных дисциплин. Костюченко А. Г. , предисловие редактора перевода к книге 1962 года |
В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет -преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши .
Ключевые результаты
Направление исследований
Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие ветви:
- Мягкий анализ . Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
- Геометрия Банаховых пространств .
- Некоммутативная геометрия . Разработана Аленом Конном , частично построена на аппроксимации Джорджа Маки (George Mackey) в эргодической теории.
- Теория изображений . Связана с квантовой механикой.
- Квантовый функциональный анализ . Исследование пространств операторов вместо пространств функций.
- Нелинейный функциональный анализ . Исследование нелинейных задач, бифуркаций, устойчивости гладких отображений, деформаций особенностей и др. в рамках функционального анализа.
Примечания
См. также
Литература
- Банах С. Теория линейных операций. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. ISBN 5-93972-031-5 .
- Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
- Богачев В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009 г. 724 стр. ISBN 978-5-93972-742-6 .
- Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. I: Общая теория. – М.: ИЛ,1962.
- Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. II: Спектральная теория. – М.: Мир,1966.
- Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Т. III: Спектральные операторы. – М.: Мир,1974.
- Иосида К. Функциональный анализ. Пер. с англ. М.: Мир, 1967. 624 с.
- Канторович Л. В. , Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
Развитие Функциональный анализ (математ.) происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Функциональный анализ (математ.) наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Функциональный анализ (математ.)
1. Возникновение функционального анализа. Функциональный анализ (математ.) как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Функциональный анализ (математ.) сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.
Среди абстрактных пространств для математического анализа и Функциональный анализ (математ.) оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции - откуда и название «Функциональный анализ (математ.) »). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l 2 и L 2 (a , b ) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства l p и L p (a , b ), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930-40-х гг. в работах Т. Карлемана , Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.
В СССР первые исследования по Функциональный анализ (математ.) появились в 30-х гг.: работы
А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств;
Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах;
Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Функциональный анализ (математ.) к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.
Для современного этапа развития Функциональный анализ (математ.) характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.
2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Функциональный анализ (математ.) , являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства Х над полем комплексных чисел (или действительных чисел ), которые одновременно и топологические, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда в линейном пространстве Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x Î Х называется действительное число ||x || такое, что всегда ||x || ³ 0 и ||x || = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
||lx || = |l| ||x ||, l Î x , если ||x n - x || 0.
В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение - обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x , у Î Х называется комплексное число (x , у ) такое, что всегда (x , x ) ³ 0 и (x , x ) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
, l, m Î является нормой элемента x
. Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Функциональный анализ (математ.)
важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что 
для x m
, x n
Î X,
следует существование предела , также являющегося элементом Х
). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.
Обычное евклидово пространство
является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства
. Однако в Функциональный анализ (математ.)
играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в , норма ||x
|| = ; банахово пространство L p
(T
) всех суммируемых с р
-й (p
³ 1) степенью функций на Т
, норма 
; банахово пространство l p
всех последовательностей таких, что , здесь (множеству целых чисел), норма ||x
|| =(å|x j
| p
) 1/ p ; в случае p
= 2 пространства l 2
и L 2
(T
) гильбертовы, при этом, например, в L 2
(T
) скалярное произведение 
; линейное топологическое пространство D
(), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на , каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а
, b
)]; при этом x n
x,
если x n
(t
) равномерно финитны [т. е. (а
, b
) не зависит от n
] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x
(t
).
Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l 2 : векторы e j = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.
С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н , свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x , у Î Н называются ортогональными (x ^ y ), если (x , у ) = 0. Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство - линейное замкнутое подмножество Н , т. е. такой вектор x , что x -x ^f для любого f Î . Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н , где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса - последовательности векторов e j , j Î , из Н таких, что ||e j || = 1, e j ^ e k при j ¹ k , и для любого x Î справедливо «покоординатное» разложение
x = åx j e j (1)
где x j
= (x
, e j
), ||x
|| = å|x j
| 2 (для простоты Н
предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н
взять L
2 (0, 2p) и положить , j
=...,-1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x
(t
) Î L
2 (0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н
и l
2 " {xj}
, j
Î гильбертовых пространств H j
- конструкция, подобная образованию Н
одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х
задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x
, x
) = 0 для x
¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н
строится процедурой пополнения Х
относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x
, для которых (x
, x
) = 0; тензорное произведение - образование его аналогично переходу от функций одной переменной f
(x 1
) к функциям многих переменных f
(x 1
,..., x q
); проективный предел банаховых пространств - здесь (грубо говоря), если 
для каждого a; индуктивный предел банаховых пространств X 1
Ì X 2
Ì..., здесь , если все x j
, начиная с некоторого j 0
, лежат в одном X j0
, и в нём 
. Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства - проективный предел гильбертовых пространств Н
a , обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что h
b Ì Н
a , и это - т. н. вложение Гильберта - Шмидта .
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x 0» (полуупорядоченностью). Пример такого пространства - действительное С (Т ), в нём считается x 0, если x (t ³)0 для всех t ÎT .
3. Операторы (общие понятия). Функционалы.
Пусть X
,
- линейные пространства; отображение A
: X
®
называется линейным, если для x
, у
Î X
, l, m Î 
,
где x 1 ,..., x n и (Ax ) 1 ,..., (Ax ) n - координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L 2 (а , b ) в него же оператор
(2)
(где (t , s ) - ограниченная функция - ядро А ) - непрерывен, в то время как определённый на подпространстве 1 (a , b ) Ì L 2 (a , b ) оператор дифференцирования
(3)
является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).
Непрерывный оператор A : X ® , где X , - банаховы пространства, характеризуется тем, что
,
поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов (X , ) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||A ||. Свойства , если для каждого x Î X ], относительно которой шар, т. е. множество точек x Î Х таких, что ||x || £ r , уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из X" , например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна - Мильмана).
Важной задачей Функциональный анализ (математ.)
является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (l p
)¢, p
> 1, состоит из функций вида åx j e j
, где , . Однако для большинства банаховых (и в особенности линейных топологических) пространств функционалы будут элементами новой природы, не конструирующимися просто средствами классического анализа. Так, например, при фиксированных t 0
и m
на пространстве D
() определён функционал 
. В случае m
= 0 его ещё можно записать «классическим» образом - при помощи интеграла, однако при m
³ 1 это уже невозможно. Элементы из (D
())¢ называются обобщёнными функциями
(распределениями). Обобщённые функции как элементы сопряжённого пространства можно строить и тогда, когда D
() заменено другим пространством Ф, состоящим как из бесконечно, так и конечное число раз дифференцируемых функций; при этом существенную роль играют тройки пространств Ф" É Н
É Ф, где Н
- исходное гильбертово пространство, а Ф - линейное топологическое (в частности, гильбертово с др. скалярным произведением) пространство, например
Ф = l 2 (T ).
Дифференциальный оператор D
, фигурирующий в (3), будет непрерывным, если его понимать действующим в L 2
[a
, b
] из пространства 1
[a
, b
], снабженного нормой 
, Однако для многих задач, и прежде всего для спектральной теории, такие дифференциальные операторы необходимо интерпретировать как действующие в одном и том же пространстве. Эти и другие близкие задачи привели к построению общей теории неограниченных, в частности неограниченных самосопряжённых, и эрмитовых операторов.
4. Специальные классы операторов. Спектральная теория. Многие задачи приводят к необходимости изучать разрешимость уравнения вида Cx = y , где С - некоторый оператор, у Î - заданный, а x Î Х - искомый векторы. Например, если Х = = L 2 (а , b ), С = Е - А , где А - оператор из (2), а Е - тождественный оператор, то получается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода; если С - дифференциальный оператор, то получается дифференциальное уравнение, и т.п. Однако здесь нельзя рассчитывать на достаточно полную аналогию с линейной алгеброй, не ограничивая класс рассматриваемых операторов. Одним из важнейших классов операторов, наиболее близких к конечномерному случаю, являются компактные (вполне непрерывные) операторы, характеризующиеся тем, что переводят каждое ограниченное множество из Х в множество из , замыкание которого компактно [таков, например, оператор А из (2)]. Для компактных операторов построена теория разрешимости уравнения x - Ax = у , вполне аналогичная конечномерному случаю (и содержащая, в частности, теорию упомянутых интегральных уравнений) (Ф. Рис).
В разнообразных задачах математической физики возникает т. н. задача на собственные значения : для некоторого оператора А : Х ® Х требуется выяснить возможность нахождения решения j ¹ 0 (собственного вектора ) уравнения А j = lj при некотором l Î l j x j e j , (4)
где l j , - собственное значение, отвечающее e j . Для конечномерного Х вопрос о таком представлении полностью выяснен, при этом в случае кратных собственных значений для получения базиса в Х нужно, вообще говоря, добавить к собственным т. н. присоединённые векторы. Набор SpA собственных значений в этом случае называется спектром А .
Первое перенесение этой картины на бесконечномерный случай было дано для интегральных операторов типа А из (2) с симметричным ядром [т. е. K (t , s ) = K (s , t ) и действительно] (Д. Гильберт). Затем подобная теория была развита для общих компактных самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Однако при переходе к простейшим некомпактным операторам возникли трудности, связанные с. самим определением спектра. Так, ограниченный оператор в L 2 [a , b ]
(Tx )(t ) = tx (t ) (5)
не имеет собственных значений. Поэтому определение спектра было пересмотрено, обобщено и выглядит сейчас следующим образом.
Пусть Х - банахово пространство, А Î - многочлен, то f (A ) = (степень оператора понимается как последовательное его применение). Однако если f (z ) - аналитическая функция, то так прямо понимать f (A ) уже не всегда возможно; в этом случае f (A ) определяется следующей формулой, если f (z ) аналитична в окрестности SpA, а Г - контур, охватывающий SpA и лежащий в области аналитичности f (z ):
. (6)
При этом алгебраические операции над функциями переходят в аналогичные операции над операторами [т. е. отображение f (z ) ® f (A ) - гомоморфизм]. Эти конструкции не дают возможности выяснить, например, вопросы полноты собственных и присоединённых векторов для общих операторов, однако для самосопряжённых операторов, представляющих основной интерес, например, для квантовой механики, подобная теория полностью разработана.
Пусть Н - гильбертово пространство. Ограниченный оператор А : Н ® Н называется самосопряжённым, если (Ax , у ) = (x , Ау ) (в случае неограниченного А определение более сложно). Если Н n -мерно, то в нём существует ортонормированный базис собственных векторов самосопряжённого оператора А ; другими словами, имеют место разложения:
, 
, (7)
где (l j ) - оператор проектирования (проектор) на подпространство, натянутое на все собственные векторы оператора А , отвечающие одному и тому же собственному значению l j .
Оказывается, что эти формулы могут быть обобщены на произвольный самосопряжённый оператор из Н , только сами проекторы (l j ) могут не существовать, поскольку могут отсутствовать и собственные векторы [таков, например, оператор Т в (5)]. В формулах (7) суммы заменяются теперь интегралами Стилтьеса по неубывающей операторнозначной функции Е (l) [которая в конечномерном случае равна ], называется разложением единицы, или спектральной (проекторной) мерой, точки роста которой совпадают со спектром Sp А . Если привлечь обобщённые функции, то формулы типа (7) сохраняются. Именно, если имеется тройка Ф" É Н É Ф , где Ф, например, ядерно, причём А переводит Ф в Ф¢ и непрерывно, то соотношения (7) имеют место, только суммы переходят в интегралы по некоторой скалярной мере, а Е (l) теперь «проектирует» Ф в Ф¢, давая векторы из Ф¢, которые будут собственными в обобщённом смысле для А с собственным значением l. Аналогичные результаты справедливы для т. н. нормальных операторов (т. е. коммутирующих со своими сопряжёнными). Например, они верны для унитарных операторов - таких ограниченных операторов, которые отображают всё Н на всё Н и сохраняют при этом скалярное произведение. Для них спектр Sp расположен на окружности |z | = 1, вдоль которой и производится интегрирование в аналогах формул (6). См. также Спектральный анализ линейных операторов.
5. Нелинейный функциональный анализ. Одновременно с развитием и углублением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. В конечном счёте оказалось необходимым рассматривать отображения (не обязательно линейные) одного пространства в другое (часто - в исходное). Одной из центральных задач нелинейного Функциональный анализ (математ.) является изучение таких отображений. Как и в линейном случае, отображение пространства в ) называется функционалом. Для нелинейных отображений (в частности, нелинейных функционалов) можно различными способами определить дифференциал, производную по направлению и т.д. аналогично соответствующим понятиям классического анализа. Выделение из отображения квадратичного и т.д. членов приводит к формуле, аналогичной формуле Тейлора.
Важной задачей нелинейного Функциональный анализ (математ.) является задача отыскания неподвижных точек отображения (точка x называется неподвижной для отображения , если Fx = x ). К отысканию неподвижных точек сводятся многие задачи о разрешимости операторных уравнений, а также задачи отыскания собственных значений и собственных векторов нелинейных операторов. При решении уравнений с нелинейными операторами, содержащими параметр, возникает существенное для нелинейного Функциональный анализ (математ.) явление - т. н. точки ветвления (решений).
При исследовании неподвижных точек и точек ветвления используются топологические методы: обобщения на бесконечномерные пространства теоремы Брауэра о существовании неподвижных точек отображений конечномерных пространств, степени отображений и т.п. Топологические методы Функциональный анализ (математ.) развивались польским математиком Ю. Шаудером, французским математиком Ж. Лере, советскими математиками М. А. Красносельским, Л. А. Люстерником и др.
6. Банаховы алгебры. Теория представлений. На ранних этапах развития Функциональный анализ (математ.) изучались задачи, для постановки и решения которых необходимы были лишь линейные операции над элементами пространства. Исключение составляют, пожалуй, только теория колец операторов (факторов) (Дж. Нейман, 1929) и теория абсолютно сходящихся рядов Фурье (Н. Винер , 1936). В конце 30-x гг. в работах японского математика М. Нагумо, советских математиков И. М, Гельфанда, Г. Е. Шилова, М. А. Наймарка и др. стала развиваться теория т. н. нормированных колец (современное название - банаховы алгебры), в которой, кроме операций линейного пространства, аксиоматизируется операция умножения (причём ||xy || £ ||x || ||y ||). Типичными представителями банаховых алгебр являются кольца ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве Х (умножение в нём - последовательное применение операторов - необходимо с учётом порядка), различного рода функциональные пространства, например c - мера Хаара на группе характеров , а
,
Обобщённое преобразование Фурье функций f (g ) и k (g ), которое продолжается до изоморфизма L 2 (G , dg ) в L 2 (, dc). Для некоммутативных групп ситуация во многом усложняется. Если G компактна, то представление группы операторов сдвига (или, короче, группы сдвигов) удаётся хорошо описать; в этом случае L 2 (G , dg ) распадается в прямую сумму конечномерных инвариантных относительно сдвигов подпространств. Если G некомпактна, то также получается разложение L 2 (G , dg ) на более простые инвариантные части, но уже не в прямую сумму, а в прямой интеграл.
Если G = , то теория унитарных представлений может быть сведена к теории самосопряжённых операторов. Именно, однопараметрическая группа унитарных операторов Т l , l Î в гильбертовом пространстве Н допускает представление Т l = exp i lA , где А - самосопряжённый оператор (теорема Стоун а); оператор А называется инфинитезимальным оператором (генератором) группы {Т" l }. Этот результат находит важные применения в изучении преобразований фазового пространства классической механики. Эта связь, а также приложения в статистической физике лежат в основе обширной ветви Функциональный анализ (математ.) - эргодической теории . Связь между однопараметрическими группами преобразований и их генераторами допускает значительные обобщения: операторы T l не обязаны быть унитарными, могут действовать в банаховых и более общих пространствах и даже быть определёнными лишь для l ³ 0 (т. н. теория полугрупп операторов). Этот раздел Функциональный анализ (математ.) имеет приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории случайных (именно марковских) процессов.
Лит.: Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа 4 изд., М., 1976; Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; Вулих Б. З., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; Банах С. С., Курс функцioнального аналiзу Киïв, 1948; Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., М., 1954; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Л., 1950; Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, М., 1959; Красносельский М. А., Забрейко П. П., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975; Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; Рудин У., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1975; Иосида К., Функциональный анализ, пер, с англ., М., 1967; Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, пер. с англ., ч. 1-3, М., 1962-74; Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; Эдвардс Р. Э., Функциональный анализ. Теория и приложения пер с англ., М., 1969.
Ю. М. Березанский, Б. М. Левитан.
Статья про слово "Функциональный анализ (математ.) " в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 6485 раз
functional analysis) Поведенческая оценка делает упор на использовании эмпирических методологий, применяемых для количественного измерения целевого поведения и многочисленных контролирующих его факторов. В ист. аспекте термин "Ф. а." характеризовался широким разнообразием видов оценки поведения и определялся как "выявление важных, поддающихся контролю, каузальных функциональных зависимостей, относящихся к специфическому набору целевых форм поведения конкретного клиента". Это определение содержит в себе ряд эксплицитных и подразумеваемых характеристик. Осн. компонентом Ф. а. яв-ся каузальные функциональные зависимости. Как таковая, функциональная связь означает лишь ковариацию между двумя переменными. Некоторые функциональные связи яв-ся каузальными, тогда как др. - исключительно корреляционными. Поскольку извлекаемая в ходе Ф. а. информ. преимущественно используется для реализации планов вмешательства, специалист по анализу поведения в большей степени заинтересован в изоляции и количественной оценке каузальных функциональных связей. Каузальные функциональные зависимости могут быть мат. описаны как повышенные условные вероятности: такую зависимость можно предполагать в тех случаях, когда вероятность наблюдения выходящего за границы фоновых колебаний изменения в целевом поведении будет большей при появлении предполагаемого каузального события (его условная вероятность), чем вероятность наблюдения такого изменения в целевом поведении при непоявлении этого события (его безусловная вероятность). В целях ил. предположим, что А - это изменение уровня кровяного давления (целевое поведение), В - изменение в повседневных стрессорах (предполагаемое каузальное событие) и P - вероятность. Если вероятность изменения кровяного давления вслед за изменением в повседневном стрессе (Р[А/В]) будет выше вероятности естественного изменения кровяного давления (Р[А]), отсюда в порядке рабочей гипотезы можно вывести каузальную функциональную зависимость. Каузальные функциональные связи с конкретным целевым поведением могут иметь многие переменные. Напр., нарушение работы систем нейротрансмиттеров ЦНС, утрата ситуативного подкрепления на реакцию, повышение уровней аверсивных последствий поведения, негативные самохарактеристики и сезонные изменения в солнечном освещении - все это может оказывать каузальное влияние на депрессивное состояние конкретного клиента. Наиболее релевантным для планирования поведенческих вмешательств будет подмножество переменных, к-рые оказывают нетривиальное каузальное влияние на целевое поведение. Следовательно, второй отличительной особенностью Ф. а. яв-ся его акцент на установление наиболее важных каузальных функциональных зависимостей. Не все важные каузальные функциональные связи удается контролировать. Значимые события истории жизни (напр., травмирующий опыт) и биолог. свойства (напр., наследственность) яв-ся двумя типами важных каузальных факторов, к-рые не подлежат изменению. Поскольку поведенческие вмешательства планируются для того, чтобы вызывать изменение в целевых формах поведения, Ф. а. будет, как правило, ограничиваться выявлением поддающихся контролю (и часто существующих на данный момент) каузальных функциональных зависимостей. Следующая характеристика Ф. а. - его направленность на выявление каузальных функциональных связей, относящихся к специфическим целевым формам поведения конкретного клиента. Такой идиографический акцент согласуется с бихевиористской аксиомой о существовании важных внутри- и межиндивидных различий в причинах поведения. Наконец, поскольку Ф. а. определяется через целевое поведение, изучению в процессе оценки подвергается широкий спектр каузальных связей. Т. о., тщательному рассмотрению подлежит весь комплекс перестановок антецедент-реакция, реакция-реакция и реакция-последствие, а тж взаимодействий антецедент х х реакция х последствие. Выявление каузальных функциональных связей. Выведение заключения о существовании функциональной связи между контролируемой переменной и целевым поведением требует наличия: а) "признаков причинной обусловленности", таких как повышение условных вероятностей и/или надежной ковариации; б) предшествования по времени (т. е. предполагаемая каузальная переменная предшествует наблюдаемому эффекту, возникающему в целевом поведении); в) исключения возможных альтернативных объяснений наблюдаемой связи. Для определения того, существует ли каузальная функциональная связь между контролируемым событием и целевым поведением, могут использоваться несколько методов оценки. Для эмпирической оценки силы и надежности каузальных функциональных связей может использоваться анализ временных рядов и планы исслед. на одном объекте (испытуемом). Однако реализация этих методологий может быть сопряжена с серьезными трудностями, поскольку они требуют множества измерений и значительных усилий от клиента и обычно позволяют оценивать взаимодействия лишь между малым числом переменных. Применение различных совр. процедур оценки поведения (напр., стандартизованные самоотчеты, схемы наблюдения, поведенческие интервью, схемы самонаблюдения и психофизиологические меры) тж может обеспечивать информ. о каузальных функциональных связях. Напр., клиент может сообщать о высоких уровнях соц. тревожности при заполнении опросника, демонстрировать высокие уровни реактивности частоты сердечных сокращений в процессе разыгрывания ролей в психофизиологической лаборатории и обнаруживать слабое владение умениями соц. взаимодействия в ходе поведенческого интервью. Наличие подобных данных позволяет выдвинуть предположение о том, что соц. тревожность этого клиента обусловлена повышенной активацией симпатической НС в сочетании с дефицитами соц. умений. Однако в силу неспособности проводящего оценку специалиста установить факт предшествования по времени эти каузальные рассуждения допускают возможность альтернативных объяснений. В приведенном примере равно вероятным м. б. также предположение о том, что соц. тревожность и повышенная активация симпатической НС приводят к дефицитам соц. умений. Третий путь установления каузальных функциональных связей состоит в использовании переменных-маркеров (marker variables). Переменной-маркером яв-ся легко реализуемое измерение, надежно связанное с силой каузальной функциональной связи. Примером такого эмпирически валидизированного маркера может служить проба на вдыхание углекислого газа. Пациенты с паническими расстройствами, в сравнении с контрольной группой здоровых людей, значительно чаще проявляют симптомы острой паники при их побуждении неоднократно вдыхать воздух с высокой концентрацией углекислого газа. Т. о., реакция на этот легко реализуемый тест может использоваться как маркер для наблюдения за тем, яв-ся ли комплекс биоповеденческих связей, к-рые характеризуют паническое расстройство, действующим в отношении конкретного клиента. Хотя стратегия использования переменной-маркера может предоставлять ценную информ. в отношении каузальных функциональных связей, на сегодняшний день в литературе по анализу поведения имеется острый дефицит в эмпирически валидизированных переменных-маркерах. В рез-те, для выявлении каузальных функциональных связей оценивающие поведение специалисты в большинстве случаев опираются на невалидизированные переменные-маркеры, такие как отчеты клиентов (напр., клиент с диагностированным ПТСР может сообщить, что воспоминания о пережитом травматическом событии чаще возвращаются в ситуациях возникновения напряженности во взаимоотношениях между супругами). То, насколько точно подобные отчеты клиентов отражают присутствие и силу каузальных функциональных связей, яв-ся предметом непрекращающихся споров. Итоги и дальнейшие перспективы. Ф. а. делает упор на идентификацию и количественную оценку важных контролируемых каузальных функциональных связей для целей планирования вмешательства. Выявление каузальных функциональных связей на основе использования строгих эмпирических процедур, однако остается чрезвычайно трудной задачей для большинства специалистов по оценке поведения. Действительно, в одном из обзоров литературы по данной проблеме обнаружилось, что предваряющие вмешательство Ф. а. проводились в лишь 20% из 156 случаев исслед., опубликованных за период между 1985 и 1988 гг. Обращение к использованию методов Ф. а. может возрасти, когда в распоряжении специалистов окажется большее количество эмпирически валидизированных переменных-маркеров, и когда будут получены ответы на следующие важные вопросы. Во-первых, действительно ли предварительный Ф. а. проблемного поведения приводит к гораздо более эффективному вмешательству? Во-вторых, могут ли оценивающие поведение специалисты, при наличии соответствующей подготовки, надежно выявлять каузальные функциональные связи? В-третьих, в какой мере рез-ты Ф. а. могут распространяться на др. людей, др. формы поведения и условия? В-четвертых, каковы процессы принятия решений, к-рые регулируют проведение Ф. а. специалистами по оценке поведения? См. также Активное исследование, Зависимые переменные, Идиодинамика, Каузальное мышление, Клиническая оценка У. О"Брайен
Функция – это одно из важнейших понятий современной ТРИЗ. Модель функции представляет собой триаду: субъект (носитель) функции, действие, объект функции. Действие может выражаться в виде глагола действия или параметра и направления его изменения. Например, пламя увеличивает температуру печки, пламя уменьшает вес воздушного шара, жидкость вблизи фазового перехода стабилизирует температуру объекта и т. д. Пример формулировки целевой функции: карандаш изменяет цвет (красит) бумаги; дешифратор восстанавливает исходное сообщение; отладочный интерфейс заносит необходимую информацию в log-файл.
Для проведения функционального анализа необходимо знать и понимать несколько терминов, которые мы перечислим ниже.
Носитель функции – субъект, реализующий рассматриваемую функцию.
Объект функции – объект, на который направлено действие рассматриваемой функции.
Полезная функция – функция, обусловливающая потребительские свойства объекта.
Вредная функция – функция, отрицательно влияющая на потребительские свойства объекта.
Нейтральная функция – функция, не влияющая на изменение потребительских свойств объекта.
Главная функция – полезная функция, отражающая назначение объекта (цель его создания).
Дополнительная функция – полезная функция, обеспечивающая совместно с главной функцией проявление потребительских свойств объекта.
Основная функция – функция, обеспечивающая выполнение главной.
Вспомогательная функция первого ранга – функция, обеспечивающая выполнение основной.
Вспомогательная функция второго ранга – функция, обеспечивающая выполнение вспомогательной функции первого ранга. Вспомогательные функции третьего и других более низких рангов – функции, подчиненные по отношению к функциям предыдущего ранга.
Ранг функции – значимость функции, определяющая ее место в иерархии функций, обеспечивающих выполнение главной функции.
Уровень выполнения функции – качество ее реализации, характеризующееся значением параметров носителя функции.
Требуемые параметры – параметры, соответствующие реальным условиям функционирования объекта.
Фактические параметры – параметры, присущие анализируемому объекту (существующему или проектируемому).
Адекватный уровень выполнения функции – соответствие фактических параметров требуемым.
Избыточный уровень выполнения функции – превышение фактических параметров над требуемыми.
Недостаточный уровень выполнения функции – превышение требуемых параметров над фактическими.
Компонентная модель – модель, отражающая состав объекта и иерархию (соподчиненность) его элементов.
Структурная модель – модель, отражающая взаимосвязи между элементами объекта. Создание компонентной и структурной моделей называется компонентно-структурным анализом .
Функциональная модель – модель, отражающая комплекс функций объекта анализа и его элементов.
Функционально-идеальная модель – функциональная модель после применения свертывания, отражающая комплекс функций объекта, реализуемых минимальным числом элементов.
Нежелательный эффект – недостаток объекта, выявленный в процессе анализа.
В некоторых случаях, когда нет направленного действия, а имеется лишь взаимодействие объектов, субъект функции невозможно отличить от объекта функции. Например, при взаимодействии двух радиоактивных веществ может активизироваться ядерная реакция и происходит взрыв. Оба вещества действуют в этом случае друг на друга. В оптике при создании зеркал на шлифовальной машине на каком-то этапе можно изготавливать сразу два зеркала: выпуклое и вогнутое. Оба стекла обрабатывают друг друга.
Понятие функции в ТРИЗ самым тесным образом связано с понятием «параметр ». Параметр имеет несколько важных характеристик:
– параметр существует не сам по себе, он всегда привязан к тому или иному объекту, характеризует состояние этого объекта;
– изменить значение параметра можно, только воздействуя на объект;
– время является параметром для процессов или операций;
– параметр можно измерить тем или иным способом, включая экспертные оценки;
– для одного и того же параметра существуют не менее двух объектов, характеризующихся этим параметром, параметр не может быть уникальным только для одной системы;
– параметр можно увеличивать, уменьшать, стабилизировать, управлять, сравнивать;
– параметры объекта могут быть взаимосвязанными между собой;
– взаимная связь (зависимость) между параметрами объекта определяется свойствами этого объекта;
– объект может характеризоваться разными параметрами в зависимости от аспекта его рассмотрения.
Параметры объекта могут быть связаны причинно-следственными цепочками и создавать иерархические параметрические структуры.
Можно выделить материальные и нематериальные аспекты рассмотрения системы.
– физический (микро и макро)
– химический
– биологический
– технический
– искусство (материальная составляющая).
Нематериальные аспекты:
– психологический
– эстетически-художественный
– социальный (индивидуальный, групповой, общественный, поведенческий)
– организационно-структурный
– бизнес (бизнес-модель, методы и технологии ведения бизнеса)
– личностно-психологический
– лингвистический
– финансово-экономический
– юридически-правовой
– политический
– научно-исследовательский
– абстрактно-математический (множества, программы, формальная логика и пр.)
В зависимости от аспекта рассмотрения системы параметры могут быть:
– информационными (скорость передачи данных, надежность, защищенность и др.),
– техническими (производительность, надежность, точность измерения и др.),
– экономическими (прибыль, ликвидность, рентабельность и др.),
– физическими (температура, масса, давление, освещенность и др.),
– биохимическими (уровень глюкозы, уровень холестерина, титр антител и др.) и т. д.
Могут использоваться и узкоспециальные параметры. Например, для жестких магнитных дисков (винчестеров) используют специальные параметры: диаметр диска, число секторов на дорожке, скорость передачи данных, время перехода от одной дорожки к другой и т. д.
Одни параметры, например, информационные, могут формироваться как результат состояния других параметров, например, технических, физических, химических, биологических.
От качества формулировки моделей функций зависит эффективность всего функционального анализа. Имеется опасность сделать две принципиальные ошибки. Первая – сформулировать действия в форме глагола, который в действительности действие не описывает. Например, любить, работать, трудиться, исправлять – такие глаголы не помогут описать действие. Нужен конкретный параметр, который в результате этого действия изменяется. Вторая довольно типичная ошибка – неверная или неточная формулировка субъекта или объекта функции. Например, часто забывают, что объект главной функции находится за пределами рассматриваемой системы. Например, редакторы текстов направлены на взаимодействие с пользователем, который сам по себе не является частью этого редактора. При формулировках функций для нематериальных систем эти проблемы формулировки функций только обостряются. Например, в информационных технологиях объект функции и субъект функции очень часто меняются местами во времени. Так, при работе с базой данных пользователь является то поставщиком информации, то потребителем информации.
Пример функциональной модели программного продукта был приведен в разделе 2.3.2. Для построения функциональной модели необходимо вначале построить компонентную модель (из чего состоит система). Это полезно и с точки зрения поиска ресурсов для решения поставленной задачи. Затем строится структурная модель – какие элементы связаны друг с другом в системе, а какие нет. После этого для каждого компонента (элемента системы) формулируется функция или несколько функций и строится функциональная модель системы, на основе которой и проводится функциональный анализ.
Построенная функциональная модель системы позволяет, в частности, проводить причинно-следственный анализ, выделяя основные существующие в системе недостатки и выстраивая причинно-следственные цепочки для выяснения причин возникновения основных недостатков. Это позволяет сформулировать ключевые недостатки системы, решение которых, как по принципу падающих домино, приводит к устранению целой группы недостатков.
Один из вариантов функционального анализа – функционально-стоимостный анализ (ФСА). Упрощенно его можно описать следующим образом. Каждому элементу ставят в соответствие определенную функцию или набор функций, определяют их значимость для системы в целом. После этого для тех же компонентов (элементов) определяют совокупные затраты. Распределение функциональной значимости элементов сравнивают с распределением затрат на этот элемент. Те элементы, которые имеют высокие затраты, связаны с большим количеством нежелательных элементов и при этом имеют не значительный функциональный ранг – это первые кандидаты на свертывание в этой системе.
Для примера приведена упрощенная диаграмма сравнения функциональной значимости и уровня затрат для задачи 7. Из диаграммы видно, что для блока распознавания и блока проверки соотношение между функциональной значимостью и затратами наихудшее. Эти блоки и нужно свернуть (удалить) в первую очередь (рис. 2.17).
Проведение глубокого функционального анализа с постановкой задач на свертывание – это самостоятельный раздел ТРИЗ, требующий более глубокого изучения и дополнительных инструментов анализа ситуации и постановки задач.
Еще один аналитический инструмент – инструмент потокового анализа (анализ имеющихся в системе потоков энергии, вещества и информации). При помощи этого аналитического инструмента могут быть выявлены недостатки, сформулированы задачи или выявлены причины их возникновения.
Причинно-следственный анализ (ПСА) основан на построении причинно-следственных цепочек имеющихся в системе недостатков. Эта цепочка может быть построена в виде графической или иной модели, отражающей взаимозависимость недостатков системы.
Метод «Допустить недопустимое » – еще один метод анализа проблемной ситуации и поиска ее решения. Его суть состоит в том, чтобы предположить такое изменение в системе, которое ни при каких обстоятельствах в условиях задачи не допускаются. Допустив такое «недопустимое» изменение далее выстраивается причинно-следственная цепочка: какие изменения возникают в системе, могут ли они снять те запреты, из-за которых нам нельзя было делать это изменение?
Простейшие примеры использования метода «Допустить недопустимое» можно взять из опыта создания презентаций. Очевидное ограничение: ширину текстового блока на слайде нельзя увеличивать так, чтобы этот блок «залезал» на окружающую его картинку. Сделаем как нельзя и все же увеличим ширину этого текстового блока. Довольно часто при этом высота текстового блока автоматически уменьшается, и увеличение его ширины уже не приводит к «залезанию» на окружающую картинку.
Для анализа ситуаций и постановки задач в ТРИЗ часто используют диверсионный анализ . Главная идея диверсионного анализа состоит в том, чтобы вместо решения проблемы, ставится вопрос о том, как можно создать проблему. Выделяют два направления применения диверсионного анализа в ТРИЗ. Первое – как объяснить возникновение того или иного явления. Для этого ставится задача: как создать это явление, используя только имеющиеся ресурсы системы. Второе – ставится задача о том, как можно было бы испортить систему. Это можно делать последовательно обращая все полезные функции системы на противоположные. Например, в программе сортировки нужно сделать так, чтобы элементы массива перемещались не туда, куда нужно. Зная это, можно избежать ошибку при создании программы.
